Вектор — это сдвиг, а не стрелка в конкретном месте
На лекции вводятся векторы и действия с ними, на семинаре — определители, главный вычислительный инструмент всего курса.
Свободный вектор можно переносить параллельно — от этого он не меняется. Поэтому векторы складывают «цепочкой» и раскладывают по нескольким заданным направлениям. Проекция превращает вектор в число вдоль оси — так геометрия начинает считаться.
Определитель — число, сопоставленное квадратной таблице. Позже он окажется площадью, объёмом, критерием компланарности и ключом к решению систем.
вектор = направленный отрезок с точностью до параллельного переноса → линейные операции → проекция → определители как инструмент счёта
Геометрический вектор — направленный отрезок \(\overrightarrow{AB}\): точка \(A\) — начало, \(B\) — конец. Длина (модуль) \(|\overrightarrow{AB}|\) — длина отрезка \(AB\).
Нуль-вектор \(\vec 0\): начало совпадает с концом, длина 0, направление не определено.
Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых (или на одной): \(\vec a\parallel\vec b\). Бывают сонаправленные \(\uparrow\uparrow\) и противоположно направленные \(\uparrow\downarrow\).
Компланарные векторы параллельны одной плоскости. Любые два вектора компланарны всегда.
\(\vec a=\vec b\), если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину.
Отсюда три вида векторов из механики: связанные (важна точка приложения — сила, приложенная к точке), скользящие (можно сдвигать вдоль своей прямой — сила, действующая на твёрдое тело), свободные (можно переносить куда угодно параллельно). В курсе работаем со свободными.
Равенство определено без упоминания начала, поэтому вектор можно «отложить» от любой точки — это и даёт право складывать векторы, приставляя один к концу другого.
Сумма \(\vec a+\vec b\): от конца \(\vec a\) откладываем \(\vec b\); сумма идёт из начала \(\vec a\) в конец \(\vec b\) (правило треугольника). Если отложить оба от одной точки — сумма есть диагональ параллелограмма.
Разность \(\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)\) — вторая диагональ, направленная от конца \(\vec b\) к концу \(\vec a\).
Диагонали параллелограмма: сумма и разность
Произведение на число \(\lambda\vec a\): длина \(|\lambda|\,|\vec a|\), направление — как у \(\vec a\) при \(\lambda>0\) и противоположное при \(\lambda<0\).
\(\vec b\parallel\vec a\ (\vec a\ne\vec 0)\iff\) существует число \(\lambda\), что \(\vec b=\lambda\vec a\).
В параллелограмме \(ABCD\): \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). Выразить \(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD},\ \overrightarrow{MA}\), где \(M\) — точка пересечения диагоналей.
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b\), потому что \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) (противоположные стороны).
В треугольнике \(ABC\) точка \(K\) — середина \(BC\). Выразить медиану \(\overrightarrow{AK}\) через \(\vec c=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec d=\overrightarrow{AC}\).
Две цепочки: \(\overrightarrow{AK}=\vec c+\overrightarrow{BK}\) и \(\overrightarrow{AK}=\vec d+\overrightarrow{CK}\).
Сложим: \(2\overrightarrow{AK}=\vec c+\vec d+(\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{CK})\). Так как \(K\) — середина, \(\overrightarrow{BK}=-\overrightarrow{CK}\), скобка равна \(\vec 0\).
\(\overrightarrow{AK}=\tfrac12(\vec c+\vec d)\) — медиана равна полусумме сторон, выходящих из той же вершины.
Ортогональная проекция вектора \(\vec a\) на ось \(l\) (направление, заданное ненулевым вектором) — число \(\operatorname{пр}_l\vec a=|\vec a|\cos\varphi\), где \(\varphi\) — угол между \(\vec a\) и осью.
Геометрически: опускаем перпендикуляры из начала и конца \(\vec a\) на ось; получаем отрезок со знаком «+», если он смотрит по оси, и «−», если против.
Проекция — это «тень» на ось. Тень цепочки векторов — цепочка теней, поэтому проекция суммы равна сумме проекций. Именно это свойство позже сделает скалярное произведение линейным.
Проекция — число, а не вектор. Она отрицательна, если угол тупой.
\(|\vec a|=4\), угол с осью \(l\) равен \(60^\circ\); \(|\vec b|=6\), угол с осью \(135^\circ\). Найти \(\operatorname{пр}_l(2\vec a-\vec b)\).
Знаки чередуются \(+\,-\,+\). Эквивалентно — правило треугольников (Саррюса): три произведения «по главной диагонали и параллельно ей» со знаком +, три «по побочной» со знаком −.
При транспонировании (строки ↔ столбцы) не меняется.
Перестановка двух строк меняет знак.
Две одинаковые (или пропорциональные) строки ⇒ определитель 0. Нулевая строка ⇒ 0.
Общий множитель строки выносится за знак определителя.
Если к строке прибавить другую, умноженную на число, определитель не изменится.
Это система двух уравнений с «неизвестными» \(\vec a,\vec b\). Её определитель \(\begin{vmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{vmatrix}=\tfrac34\ne0\) — решение единственно.
Из первого \(\vec a=\vec m-\tfrac12\vec b\); подставим во второе: \(\vec n=\tfrac12\vec m+\tfrac34\vec b\Rightarrow\vec b=\tfrac43\vec n-\tfrac23\vec m\).
Тогда \(\vec a=\vec m-\tfrac12\vec b=\tfrac43\vec m-\tfrac23\vec n\).
Проверка симметрией: задача не меняется при замене \(\vec a\leftrightarrow\vec b,\ \vec m\leftrightarrow\vec n\) — ответы переходят друг в друга. ✓
ДЗ №1 часть 2 «Прямые и плоскости» выдаётся на 1-й неделе (сдать к 9-й).
Базис превращает векторы в наборы чисел
Разложив вектор по базису, мы заменяем геометрию арифметикой координат. Скалярное произведение добавляет длины и углы.
Ключевой вопрос — какие векторы годятся в базис. Ответ даёт линейная независимость: в пространстве нужны три некомпланарных вектора. Найти коэффициенты разложения — значит решить систему линейных уравнений; для неё на семинаре появляются формулы Крамера.
Скалярное произведение в ортонормированном базисе считается как сумма произведений координат — из него получаются длина, угол и проекция.
линейная независимость → базис → координаты → система уравнений (Крамер) → скалярное произведение → длины, углы, проекции
Линейная комбинация векторов \(\vec a_1,\dots,\vec a_n\) — вектор \(\lambda_1\vec a_1+\dots+\lambda_n\vec a_n\). Система векторов линейно зависима (ЛЗ), если существует нетривиальная (не все \(\lambda_i=0\)) комбинация, равная \(\vec 0\). Иначе — линейно независима (ЛНЗ).
Система из \(n\ge2\) векторов ЛЗ \(\iff\) хотя бы один из них есть линейная комбинация остальных.
Доказательство (нужно на РК)
⇒ Пусть \(\lambda_1\vec a_1+\dots+\lambda_n\vec a_n=\vec 0\) и, скажем, \(\lambda_1\ne0\). Делим на \(\lambda_1\): \(\vec a_1=-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\vec a_2-\dots-\frac{\lambda_n}{\lambda_1}\vec a_n\).
⇐ Если \(\vec a_1=\mu_2\vec a_2+\dots+\mu_n\vec a_n\), то \(1\cdot\vec a_1-\mu_2\vec a_2-\dots-\mu_n\vec a_n=\vec 0\) — нетривиальная комбинация (коэффициент при \(\vec a_1\) равен 1). ∎
Сколько векторов
ЛЗ ⇔
2
коллинеарны
3
компланарны
4 и больше в пространстве
всегда ЛЗ
Если \(\vec a,\vec b\) не коллинеарны, то любой \(\vec c\) в их плоскости раскладывается по ним (параллелограмм с диагональю \(\vec c\)). Значит, третий компланарный вектор «лишний» — он выражается через два.
Базис в \(V_3\) — упорядоченная тройка некомпланарных векторов \(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\); в \(V_2\) (плоскость) — пара неколлинеарных; в \(V_1\) (прямая) — любой ненулевой вектор.
Любой вектор \(\vec a\) раскладывается по базису: \(\vec a=x\vec e_1+y\vec e_2+z\vec e_3\), и это разложение единственно. Числа \((x;y;z)\) — координаты \(\vec a\) в этом базисе.
Почему единственно
Пусть есть два разложения. Вычтем: \((x-x')\vec e_1+(y-y')\vec e_2+(z-z')\vec e_3=\vec 0\). Базис ЛНЗ ⇒ все скобки равны 0. ∎
\(\vec a\parallel\vec b\iff\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{z_1}{z_2}\) (координаты пропорциональны; ноль в знаменателе означает ноль в числителе).
Коллинеарны ли \(\vec a=(2;-1;3)\) и \(\vec b=(-4;2;-6)\)? А \(\vec c=(1;2;3)\) и \(\vec d=(2;4;5)\)?
Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: \(\Delta=\sum_j a_{ij}A_{ij}\). Сумма произведений элементов строки на дополнения чужой строки равна 0.
Знаки \((-1)^{i+j}\) образуют «шахматку»: \(\begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}\). Раскладывать выгодно по строке/столбцу, где больше нулей.
Если определитель системы \(n\) уравнений с \(n\) неизвестными \(\Delta\ne0\), то решение единственно: \(x_k=\dfrac{\Delta_k}{\Delta}\), где \(\Delta_k\) получен заменой \(k\)-го столбца на столбец свободных членов.
При \(\Delta=0\) формулы Крамера неприменимы: система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. Это разбирается в модуле 2 (метод Гаусса).
Занятие 2 — продолжение «Определители, формулы Крамера» (номера — см. неделю 1).
ДЗ №1 часть 1 «Векторная алгебра» выдаётся на 2-й неделе (сдать к 7-й).
Площадь и объём — через определители
Векторное произведение даёт вектор, перпендикулярный двум данным, длиной равный площади параллелограмма. Смешанное — объём параллелепипеда со знаком.
Оба произведения в ортонормированном базисе — определители третьего порядка, отсюда и связь с прошлой неделей. Знак смешанного произведения говорит об ориентации тройки, а его равенство нулю — о компланарности.
На семинаре — практика линейных операций и разложения по базису в пространстве: базис проверяем определителем.
Тройка некомпланарных \(\vec a,\vec b,\vec c\) правая, если из конца \(\vec c\) кратчайший поворот от \(\vec a\) к \(\vec b\) виден против часовой стрелки; иначе — левая. Базис \(\vec i,\vec j,\vec k\) считаем правым.
Раскрываем \((x_1\vec i+y_1\vec j+z_1\vec k)\times(x_2\vec i+y_2\vec j+z_2\vec k)\) по линейности: 9 слагаемых. Произведения одинаковых ортов равны \(\vec 0\), остальные — по таблице. Собираем при \(\vec i\): \(y_1z_2-z_1y_2\); при \(\vec j\): \(z_1x_2-x_1z_2\); при \(\vec k\): \(x_1y_2-y_1x_2\). Это и есть разложение определителя по первой строке. ∎
Не забывай минус у средней компоненты. Самопроверка: результат должен быть ортогонален обоим сомножителям (скалярные произведения = 0).
\(\vec a=(1;2;-1)\), \(\vec b=(3;0;2)\). Найти \(\vec a\times\vec b\) и площадь параллелограмма на этих векторах.
Сложим все три: \(2(\alpha+\beta+\gamma)=8\Rightarrow\alpha+\beta+\gamma=4\). Отсюда \(\alpha=4-3=1,\ \beta=4-2=2,\ \gamma=4-3=1\).
Проверка: \((1;0;1)+2(0;1;1)+(1;1;0)=(2;3;3)\) ✓
\(\vec d=\vec a+2\vec b+\vec c\)
Параллелепипед построен на \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\), где \(A(1;1;1),\ B(2;3;0),\ D(4;1;3),\ A_1(3;2;2)\). Убедиться, что он невырожден, найти объём и высоту, опущенную из \(A_1\) на основание \(ABCD\).
Уравнение — это условие, которому подчиняются точки
Система координат связывает точку с её радиус-вектором. Прямая — множество точек, для которых выполнено одно линейное уравнение.
Все виды уравнения прямой получаются из одной картинки: точка \(M_0\) на прямой плюс либо направляющий вектор \(\vec s\) (вдоль прямой), либо нормальный \(\vec n\) (перпендикулярно). Переходы между видами — просто арифметика.
На семинаре — приложения скалярного произведения: углы треугольника, проекции, поиск вектора по условиям перпендикулярности.
точка + \(\vec n\) → общее уравнение; точка + \(\vec s\) → каноническое и параметрическое; угол между прямыми = угол между \(\vec n\) (или \(\vec s\))
Декартова прямоугольная система координат — точка \(O\) и ортонормированный базис \(\vec i,\vec j,\vec k\). Координаты точки \(M\) — координаты её радиус-вектора \(\overrightarrow{OM}\).
Если \(\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{MB}\) (\(\lambda\ne-1\)), то \(\ \vec r_M=\dfrac{\vec r_A+\lambda\vec r_B}{1+\lambda}\), т.е. \(x_M=\dfrac{x_A+\lambda x_B}{1+\lambda}\) и т.д.
Уравнение \(f(x,y)=0\) задаёт на плоскости линию — множество точек, координаты которых ему удовлетворяют. Аналогично \(F(x,y,z)=0\) в пространстве задаёт поверхность.
\(A(1;-2;3),\ B(4;4;-3)\). Найти точку \(M\), делящую \(AB\) в отношении \(AM:MB=2:1\).
Отрицательное \(\lambda\) — точка вне отрезка (здесь за точкой \(B\), \(B\) — середина \(AC\)).
\(C(7;10;-9)\)
Вид
Уравнение
Что в нём видно
Общее
\(Ax+By+C=0\)
\(\vec n=(A;B)\perp\) прямой
Через точку с нормалью
\(A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\)
\(M_0,\ \vec n\)
Каноническое
\(\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}\)
\(M_0,\ \vec s=(l;m)\)
Параметрическое
\(x=x_0+lt,\ y=y_0+mt\)
движение точки по прямой
Через две точки
\(\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}\)
\(\vec s=\overrightarrow{M_1M_2}\)
С угловым коэффициентом
\(y=kx+b\)
\(k=\operatorname{tg}\alpha\), \(b\) — отрезок на \(Oy\)
В отрезках
\(\dfrac xa+\dfrac yb=1\)
прямая отсекает \(a\) на \(Ox\), \(b\) на \(Oy\)
В ДСК на плоскости любое уравнение первой степени \(Ax+By+C=0\) (\(A^2+B^2\ne0\)) задаёт прямую, и любая прямая задаётся таким уравнением.
Доказательство (вопрос РК №1)
Пусть, например, \(A\ne0\). Тогда точка \(M_0(-C/A;\,0)\) удовлетворяет уравнению, и его можно переписать как \(A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\), т.е. \((\vec n,\overrightarrow{M_0M})=0\) с \(\vec n=(A;B)\). Это множество точек \(M\), для которых \(\overrightarrow{M_0M}\perp\vec n\), — прямая через \(M_0\) перпендикулярно \(\vec n\). Обратно, прямая через \(M_0\) с нормалью \(\vec n\) задаётся условием \((\vec n,\overrightarrow{M_0M})=0\) — а это уравнение первой степени. ∎
Связь нормали и направления на плоскости: если \(\vec n=(A;B)\), то \(\vec s=(-B;A)\) (или \((B;-A)\)) — проверь, что \((\vec n,\vec s)=0\).
Прямая проходит через \(A(1;2)\) и \(B(3;-2)\). Записать каноническое, общее, с угловым коэффициентом уравнения и уравнение в отрезках.
Плоскость в пространстве устроена как прямая на плоскости
Общее уравнение \(Ax+By+Cz+D=0\) — та же идея «точка + нормаль», только на одну координату больше.
Нормальное уравнение (с единичной нормалью) сразу даёт расстояние от точки: подставь точку — получишь отклонение со знаком. Это работает и для прямой на плоскости, и для плоскости в пространстве.
На семинаре — векторное произведение: оно строит нормаль плоскости по двум лежащим в ней векторам.
нормаль \(\vec n\) → общее уравнение → деление на \(\pm|\vec n|\) → нормальное уравнение → расстояние \(d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{|\vec n|}\)
\(x\cos\alpha+y\sin\alpha-p=0\), где \(p\ge0\) — расстояние от начала координат до прямой, \(\alpha\) — угол единичной нормали (направленной от \(O\) к прямой) с осью \(Ox\).
Чтобы привести \(Ax+By+C=0\) к нормальному виду, умножаем на нормирующий множитель \(\mu=\pm\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}\), знак \(\mu\) — противоположный знаку \(C\) (чтобы \(-p=\mu C\le0\)).
Отклонение точки \(M_0\): \(\delta=x_0\cos\alpha+y_0\sin\alpha-p\) (знак показывает, по какую сторону от прямой точка). Расстояние: \(d=|\delta|=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\).
Почему так
Пусть \(\vec e=(\cos\alpha;\sin\alpha)\). Проекция радиус-вектора \(\overrightarrow{OM_0}\) на \(\vec e\) равна \(x_0\cos\alpha+y_0\sin\alpha\), а проекция любой точки прямой равна \(p\). Разность проекций и есть отклонение \(M_0\) от прямой вдоль нормали. ∎
Привести \(3x-4y+5=0\) к нормальному виду; найти расстояние от \(M(3;-1)\) до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми \(3x-4y+5=0\) и \(3x-4y-10=0\).
Возьмём точку на второй прямой: \((2;-1)\) (\(6+4-10=0\)).
\(d=\frac{|6+4+5|}{5}=3\). Короче: \(d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}\) при одинаковых \(A,B\).
\(3\)
В ДСК любое уравнение первой степени \(Ax+By+Cz+D=0\) задаёт плоскость с нормальным вектором \(\vec n=(A;B;C)\). (Доказательство — дословно как для прямой на плоскости.)
Через точку с нормалью: \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\).
Через три точки — условие компланарности \(\overrightarrow{M_1M},\overrightarrow{M_1M_2},\overrightarrow{M_1M_3}\):
\[\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{vmatrix}=0.\]
В отрезках: \(\frac xa+\frac yb+\frac zc=1\).
\(D=0\) — через начало координат; \(A=0\) — параллельна \(Ox\) (нормаль ⟂ \(Ox\)); \(A=D=0\) — содержит \(Ox\); \(A=B=0\) — параллельна \(Oxy\): \(z=\text{const}\).
Все плоскости через прямую пересечения двух плоскостей: \(\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0\). Удобно, когда нужна плоскость «через данную прямую и ещё что-то».
Плоскость через \(M_1(1;2;0),\ M_2(2;1;1),\ M_3(3;0;1)\).
Одного линейного уравнения в пространстве мало (это плоскость), поэтому прямую задают точкой и направляющим вектором или как пересечение двух плоскостей.
Все задачи «прямая–плоскость» и «прямая–прямая» решаются через три объекта: точку \(M_0\), направляющий \(\vec s\) и нормаль \(\vec n\). Расстояние между скрещивающимися прямыми — высота параллелепипеда, поэтому в формуле стоит смешанное произведение.
Канонические: \(\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}\), \(\vec s=(l;m;n)\). Ноль в знаменателе допустим и означает, что соответствующая координата постоянна.
Через две точки: \(\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}\).
Общие: \(\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}\) — пересечение двух непараллельных плоскостей.
1) \(\vec s=\vec n_1\times\vec n_2\) (прямая лежит в обеих плоскостях ⇒ перпендикулярна обеим нормалям). 2) Точку находим, задав одну координату (например, \(x=0\)) и решив систему 2×2 для двух других.
Записать канонические уравнения прямой \(\begin{cases}x-2y+z-3=0\\x+y-z+2=0\end{cases}\)
Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на плоскость, \(\varphi\in[0;\frac\pi2]\). Он дополняет до \(\frac\pi2\) угол между \(\vec s\) и \(\vec n\), поэтому
Первая формула: площадь параллелограмма на \(\overrightarrow{M_1M_0}\) и \(\vec s\), делённая на основание, — высота. Вторая: объём параллелепипеда на трёх векторах, делённый на площадь основания (на \(\vec s_1,\vec s_2\)), — высота, а она и есть расстояние между параллельными плоскостями, содержащими прямые.
ДЗ №2 «Кривые и поверхности» выдаётся на 6-й неделе.
Кривая как геометрическое место точек
Эллипс — точки с постоянной суммой расстояний до двух фокусов, гипербола — с постоянной разностью (по модулю).
Из этих определений выводятся канонические уравнения, а все параметры — полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет — связаны одним соотношением между \(a,b,c\). Кто запомнил, какое из трёх чисел самое большое, тот не ошибётся.
На семинаре — задачи на плоскость: через точку и прямую, перпендикулярно плоскости, симметричная точка.
Эллипс — множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек \(F_1,F_2\) (фокусов) постоянна и равна \(2a\), причём \(2a>|F_1F_2|=2c\).
Эксцентриситет \(e=\frac ca\in[0;1)\): чем ближе к 0, тем «круглее»; \(e=0\) — окружность.
Фокальные радиусы точки \(M(x;y)\): \(r_1=a+ex,\ r_2=a-ex\).
Директрисы \(x=\pm\frac ae\): \(\frac{r}{d}=e\) для каждой пары «фокус–своя директриса».
Вывод канонического уравнения
\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\). Переносим второй корень, возводим в квадрат: \(a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx\). Ещё раз в квадрат: \((a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\). Обозначаем \(b^2=a^2-c^2\) и делим на \(a^2b^2\). (Можно показать, что лишних точек при возведении в квадрат не появилось.)
Эллипс \(9x^2+25y^2=225\). Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет; проверить свойство \(r_1+r_2=2a\) для точки \(M(4;\frac95)\).
Делим на 225: \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow a=5,\ b=3\).
Выделяем полные квадраты — и кривая становится канонической
Уравнение без члена \(xy\) приводится к каноническому виду параллельным переносом: группируем \(x\) с \(x\), \(y\) с \(y\) и выделяем полные квадраты.
Тип кривой виден ещё до вычислений, по знакам коэффициентов при \(x^2\) и \(y^2\): одинаковые знаки — эллипс, разные — гипербола, одного квадрата нет — парабола. Это ровно задачи 1–2 ДЗ №2 и задача 2 контрольной работы.
На семинаре — прямая в пространстве: проекция прямой на плоскость, симметричная точка, высота треугольника.
\(y^2=-2px\) — ветви влево; \(x^2=\pm2py\) — вверх/вниз.
Вывод (вопрос экзамена)
\(|MF|=d(M,d)\): \(\sqrt{(x-\frac p2)^2+y^2}=x+\frac p2\). Возводим в квадрат: \(x^2-px+\frac{p^2}4+y^2=x^2+px+\frac{p^2}4\Rightarrow y^2=2px\). ∎
Для эллипса и гиперболы тоже \(\frac{r}{d}=e\) (расстояние до фокуса / до соответствующей директрисы): \(e<1\) — эллипс, \(e=1\) — парабола, \(e>1\) — гипербола. Оптическое свойство параболы: лучи из фокуса после отражения идут параллельно оси (прожектор, антенна).
\(y^2=8x\): параметр, фокус, директриса.
\(2p=8,\ p=4\); \(F(2;0)\); \(x=-2\).
(Подготовка к КР) Уравнение параболы с фокусом \(F(-4;-2)\) и директрисой \(y-4=0\).
По определению: \(\sqrt{(x+4)^2+(y+2)^2}=|y-4|\).
В квадрат: \((x+4)^2=(y-4)^2-(y+2)^2=(-6)(2y-2)=-12(y-1)\).
Вершина \((-4;1)\) — середина между фокусом и директрисой; \(p=6\); ветви вниз (фокус ниже директрисы).
\((x+4)^2=-12(y-1)\)
Если центр (вершина) кривой в точке \(O'(x_0;y_0)\), то в канонических уравнениях \(x\) заменяется на \(x-x_0\), \(y\) — на \(y-y_0\). Например, \(\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\).
Тип по \(AC\): \(AC>0\) — эллиптический, \(AC<0\) — гиперболический, \(AC=0\) — параболический.
Группируем и выносим коэффициент: \(A(x^2+\frac DAx)\). Выделяем квадрат: \(x^2+2kx=(x+k)^2-k^2\).
Переносим константу вправо, делим, получаем канонический вид в \(X=x-x_0,\ Y=y-y_0\).
Параметры (\(a,b,c,e,p\)) считаем в \(X,Y\), а координаты фокусов, вершин, асимптоты, директрису переводим обратно: \(x=X+x_0\).
Вырожденные случаи: \(\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=0\) — точка, \(=-1\) — пустое множество, \(\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=0\) — пара пересекающихся прямых, \(Y^2=k\) — пара параллельных прямых или пусто.
Сопряжённая гипербола: действительная ось вдоль \(Oy\), центр \((5;-1)\), \(a=3\) (по \(y\)), \(b=\sqrt3\), \(c=\sqrt{12}=2\sqrt3\), \(e=\frac{2\sqrt3}{3}\).
Метод сечений: режем поверхность плоскостями \(z=h\), \(x=0\), \(y=0\) и смотрим, какие кривые получаются. Из знакомых эллипсов, гипербол и парабол складывается объёмная картина.
Каноническое уравнение распознаётся по набору знаков и по тому, есть ли переменная в первой степени. Смещённая поверхность приводится к каноническому виду теми же полными квадратами.
Вторая половина недели — сводная задача по всему модулю 1 перед РК №1 и сдачей ДЗ №1 ч.2.
знаки при \(x^2,y^2,z^2\) и правая часть → тип; сечения \(z=h\) → эллипсы/гиперболы → форма; полные квадраты → центр
Образована прямыми (образующими), параллельными заданному направлению и проходящими через кривую (направляющую). Если в уравнении нет \(z\), это цилиндр с образующими \(\parallel Oz\): например, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) в пространстве — эллиптический цилиндр; \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) — гиперболический; \(y^2=2px\) — параболический.
При вращении кривой \(F(y,z)=0\), лежащей в плоскости \(Oyz\), вокруг оси \(Oz\) нужно заменить \(y\) на \(\pm\sqrt{x^2+y^2}\): \(F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0\).
Пример: эллипс \(\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}=1\) вокруг \(Oz\) даёт \(\frac{x^2+y^2}{4}+\frac{z^2}{9}=1\) — эллипсоид вращения. Парабола \(z=y^2\) вокруг \(Oz\) — параболоид \(z=x^2+y^2\).
Ось однополостного и двуполостного гиперболоида — та переменная, знак при которой «выбивается» из остальных. У однополостного «горловина» — эллипс \(z=0\); у двуполостного плоскость \(z=0\) поверхность не пересекает.
а) Один минус, справа 1 — однополостный гиперболоид с осью \(Oz\). Сечения \(z=h\): \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1+\frac{h^2}{16}\) — эллипсы, растущие с \(|h|\).
б) Перепишем: \(-x^2+y^2+z^2=-1\): двуполостный гиперболоид с осью \(Ox\) (при \(|x|<1\) сечений нет).
в) Круговой конус с осью \(Oz\).
г) Эллиптический (круговой) параболоид с осью \(Ox\), раскрывается в сторону \(x>0\).
д) Поворот на 45°: \(xy=\frac{u^2-v^2}{2}\) — гиперболический параболоид.
Лекция 9. Поверхности второго порядка. ОЛ-1, гл. 12; ОЛ-3, гл. 7 §3. МП-6 (Бархатова, Садыхов) «Поверхности второго порядка».
Занятие 9 по плану — контроль по модулю №1; по рейтинг-плану РК №1 проводится на 10-й неделе. Срок сдачи ДЗ №1, часть 2 — 9-я неделя.
Матрица — таблица, с которой можно считать
Матрицы складывают поэлементно, а умножают «строка на столбец». Умножение некоммутативно — это главное отличие от чисел.
Элементарные преобразования строк приводят любую матрицу к ступенчатому виду. Этим приёмом дальше считаются обратная матрица, ранг и решения систем, так что технику стоит отработать сейчас.
На этой неделе проходит РК №1 — открой раздел «Подготовка к РК».
линейные операции поэлементно → умножение «строка × столбец», \(AB\ne BA\) → элементарные преобразования → ступенчатый вид
Матрица размера \(m\times n\) — прямоугольная таблица из \(m\) строк и \(n\) столбцов: \(A=(a_{ij})\). Матрицы равны, если у них один размер и совпадают все элементы.
Квадратная (\(m=n\)), её главная диагональ \(a_{11},\dots,a_{nn}\); диагональная; единичная \(E\) (единицы на диагонали); нулевая \(O\); верхне/нижнетреугольная; матрица-строка и матрица-столбец.
\(A+B=(a_{ij}+b_{ij})\) — только для одного размера; \(\lambda A=(\lambda a_{ij})\).
Те же, что для векторов: \(A+B=B+A\), \((A+B)+C=A+(B+C)\), \(A+O=A\), \(\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\), \((\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\), \(\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A\).
Если \(A\) размера \(m\times k\), \(B\) — \(k\times n\), то \(C=AB\) — матрица \(m\times n\), \(c_{ij}=\sum_{s=1}^k a_{is}b_{sj}\): \(i\)-я строка \(A\), скалярно умноженная на \(j\)-й столбец \(B\).
В общем случае \(AB\ne BA\) (а \(BA\) может даже не существовать). Ещё: из \(AB=O\) не следует, что \(A=O\) или \(B=O\).
Умножение на матрицу — преобразование плоскости; произведение \(AB\) — «сначала \(B\), потом \(A\)», поэтому порядок важен.
\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\). Найти \(AB\) и \(BA\).
\(AB=\begin{pmatrix}1\cdot0+2\cdot1&1\cdot1+2\cdot0\\3\cdot0+4\cdot1&3+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\) — справа на \(B\) переставляет столбцы.
\(BA=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}\) — слева на \(B\) переставляет строки.
\(AB\ne BA\)
\(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{pmatrix}\ (2\times3),\ B=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\\1&3\end{pmatrix}\ (3\times2)\). Найти \(AB\).
Результат \(2\times2\). \(c_{11}=2+0+2=4,\ c_{12}=1+0+6=7\).
\(c_{21}=-2+0+1=-1,\ c_{22}=-1-3+3=-1\).
\(\begin{pmatrix}4&7\\-1&-1\end{pmatrix}\)
Найти \(f(A)=A^2-3A+2E\) для \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\).
1) перестановка двух строк; 2) умножение строки на число \(\ne0\); 3) прибавление к строке другой строки, умноженной на число. (Аналогично для столбцов.)
Нулевые строки (если есть) — внизу; первый ненулевой элемент каждой строки стоит правее, чем у предыдущей.
Найди столбец с ненулевым элементом, поставь строку с ним наверх (лучше, если там 1).
Обнули элементы под ним преобразованиями 3-го типа.
Забудь первую строку и повтори для оставшейся части.
Привести к ступенчатому виду \(\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\2&5&0&4\\3&7&-1&7\end{pmatrix}\).
\(R_2-2R_1=(0;1;2;-2)\), \(R_3-3R_1=(0;1;2;-2)\).
\(R_3-R_2=(0;0;0;0)\).
\(\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\0&1&2&-2\\0&0&0&0\end{pmatrix}\) — две ненулевые строки (ранг 2, см. неделю 13)
Для \(A,B\) из этапа «Считаем произведения» проверить \(\det(AB)=\det A\det B\) и найти \(\det(A^TB^3)\).
Можно ли умножить матрицу \(3\times2\) на \(3\times2\)?
Нет: число столбцов первой (2) ≠ числу строк второй (3). Зато \(A^TB\) (\(2\times2\)) можно.
\((AB)^T=?\)
\(B^TA^T\) — порядок меняется.
Найти \(A^2\), если \(A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\).
\(O\) — ненулевая матрица, квадрат которой равен нулю.
Лекция 10. Матрицы и действия. ОЛ-1, пп. 6.1–6.4; ОЛ-4, гл. 1 §1.
Контроль по модулю №1 (РК №1) — 10-я неделя. См. раздел «Подготовка к РК → РК 1».
Делить на матрицу нельзя, а умножить на обратную — можно
\(A^{-1}\) существует ровно тогда, когда \(\det A\ne0\). Её можно найти двумя способами: через присоединённую матрицу или преобразованиями \([A\,|\,E]\to[E\,|\,A^{-1}]\).
На семинаре — снова кривые второго порядка, но уже «обратные» задачи ДЗ №2: восстановить уравнение по центру, фокусу, эксцентриситету и проверить фокальное свойство точки.
\(A^{-1}\) — обратная к квадратной \(A\), если \(AA^{-1}=A^{-1}A=E\). Матрица \(A\) невырожденная, если \(\det A\ne0\).
Если обратная существует, то она единственна.
Доказательство
Пусть \(B\) и \(C\) обе обратные. Тогда \(B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C\). ∎
\(A^{-1}\) существует \(\iff\det A\ne0\). При этом \(A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\tilde A\), где \(\tilde A\) — присоединённая матрица: на месте \((i,j)\) стоит \(A_{ji}\) (алгебраические дополнения, затем транспонирование).
⇐ Элемент \((i,j)\) произведения \(A\tilde A\) равен \(\sum_k a_{ik}A_{jk}\). При \(i=j\) это разложение \(\det A\) по \(i\)-й строке; при \(i\ne j\) — сумма произведений элементов строки на дополнения чужой строки, т.е. 0. Значит \(A\tilde A=\det A\cdot E\), и \(\frac1{\det A}\tilde A\) — обратная. ∎
Записываем расширенную матрицу \([A\,|\,E]\) и только строчными преобразованиями добиваемся слева \(E\). Справа окажется \(A^{-1}\).
Каждое элементарное преобразование строк — умножение слева на некоторую матрицу. Если их произведение \(P\) превратило \(A\) в \(E\), то \(PA=E\Rightarrow P=A^{-1}\), а справа стоит \(PE=A^{-1}\).
Столбцы трогать нельзя. Если слева появилась нулевая строка, то \(\det A=0\) и обратной нет.
Найти обратную к \(A=\begin{pmatrix}3&-4&5\\2&-3&1\\3&-5&-1\end{pmatrix}\) элементарными преобразованиями.
\(\left(\begin{smallmatrix}3&-4&5&|&1&0&0\\2&-3&1&|&0&1&0\\3&-5&-1&|&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\). Чтобы получить ведущую 1: \(R_1:=R_1-R_2=(1;-1;4\,|\,1;-1;0)\).
(Пример ДЗ №2) Парабола симметрична относительно \(y+1=0\), фокус \(F(-\frac38;-1)\), проходит через \(C(-\frac35;0)\), ветви направлены в сторону \(x>0\). Найти уравнение и проверить для \(C\) определяющее свойство.
Ось \(y=-1\), ветви вправо: \((y+1)^2=2p(x-x_0)\), \(p>0\), фокус \(x_0+\frac p2=-\frac38\).
Через \(C\): \(1=2p\left(-\frac35-x_0\right)=2p\left(-\frac35+\frac38+\frac p2\right)=p^2-\frac{9}{20}p\).
\(p^2-0{,}45p-1=0\Rightarrow p=\frac{0{,}45\pm2{,}05}{2}\); берём \(p=\frac54>0\). Тогда \(x_0=-\frac38-\frac58=-1\).
Система \(n\times n\) в матричной форме: \(AX=b\), \(X=(x_1,\dots,x_n)^T\). При \(\det A\ne0\): \(X=A^{-1}b\).
При \(\Delta=\det A\ne0\) система имеет единственное решение \(x_k=\Delta_k/\Delta\).
Доказательство (вопрос РК №2)
\(X=A^{-1}b=\frac1\Delta\tilde Ab\). \(k\)-я компонента: \(\frac1\Delta\sum_i A_{ik}b_i\) — это разложение по \(k\)-му столбцу определителя, в котором \(k\)-й столбец заменён на \(b\), то есть \(\Delta_k/\Delta\). Единственность — из единственности \(A^{-1}\). ∎
\(X=\begin{pmatrix}-1&2&1\\3&4&-4\end{pmatrix}\). Проверка 1-й строки: \((-1-4+1;\ 4-2+1;\ 5+6-1)=(-4;3;10)\) ✓
Выписываем расширенную матрицу \((A\,|\,b)\).
Прямой ход: строчными преобразованиями приводим к ступенчатому виду.
Если появилась строка \((0\ \dots\ 0\,|\,c)\), \(c\ne0\), — система несовместна.
Обратный ход: из последнего уравнения выражаем последнюю неизвестную и подставляем вверх.
Элементарные преобразования строк расширенной матрицы — это действия с уравнениями (переставить, умножить, прибавить одно к другому). Множество решений от них не меняется.
Из \(XA=B\) студент получил \(X=A^{-1}B\). Где ошибка?
Умножать нужно справа: \(X=BA^{-1}\); для матриц порядок важен.
Что означает строка \((0\ 0\ 0\,|\,0)\) после прямого хода?
Уравнение было следствием остальных — его просто вычёркиваем.
Лекции 11–12. ОЛ-1, пп. 6.5, 6.6, 8.1–8.3.
Занятие 11. Поверхности второго порядка, метод сечений. Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.393, 2.394, 2.383, 2.379, 2.372, 2.377, 2.405 или МП-6. Дома: ОЛ-2 №№ 2.395, 2.397, 2.375, 2.382, 2.374, 2.380, 2.381 или МП-6.
Ранг — число по-настоящему независимых строк
Ранг равен наибольшему порядку ненулевого минора и одновременно — числу ненулевых строк ступенчатого вида.
Теорема о базисном миноре объясняет, почему эти определения совпадают: строки базисного минора независимы, а остальные через них выражаются. Отсюда следствие: \(\det A=0\) ⇔ строки линейно зависимы.
Ранг — главный инструмент недели 14 (совместность систем) и задача 3 РК №2 (ранг с параметром).
Минор \(k\)-го порядка — определитель из элементов на пересечении любых \(k\) строк и \(k\) столбцов. Ранг \(\operatorname{rg}A\) — наибольший порядок ненулевого минора. Ненулевой минор порядка \(\operatorname{rg}A\) — базисный.
Строки \(e_1,\dots,e_m\) линейно зависимы, если \(\lambda_1e_1+\dots+\lambda_me_m=0\) при некоторых не всех нулевых \(\lambda_i\). Критерий: ЛЗ ⇔ одна строка — линейная комбинация остальных (доказательство как для векторов, неделя 2).
Строки (столбцы), проходящие через базисный минор, линейно независимы; любая другая строка (столбец) — их линейная комбинация.
Для квадратной \(A\): \(\det A=0\iff\) её строки (столбцы) линейно зависимы.
Доказательство следствия (вопрос РК №2)
⇐ Если одна строка — комбинация других, вычитаем из неё эту комбинацию (свойство 5 определителя) и получаем нулевую строку ⇒ \(\det A=0\).
⇒ Если \(\det A=0\), то \(\operatorname{rg}A<n\), базисный минор не захватывает хотя бы одну строку, и по теореме о базисном миноре она — комбинация остальных. ∎
Элементарные преобразования ранг не меняют ⇒ приводим к ступенчатому виду и считаем ненулевые строки. Метод окаймляющих миноров: нашёл ненулевой минор порядка \(k\) — проверяй только окаймляющие его миноры порядка \(k+1\).
Система совместна ⇔ ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы. Если этот общий ранг меньше числа неизвестных, решений бесконечно много.
Неизвестные при базисном миноре — базисные, остальные — свободные: им даём произвольные значения и выражаем через них базисные. Однородная система всегда совместна, вопрос только в том, есть ли ненулевые решения.
На этой неделе — КР «Кривые и поверхности второго порядка», см. «Подготовка к РК → КР».
\(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|b)=r\): \(r=n\) — одно решение, \(r<n\) — бесконечно много, \(n-r\) свободных неизвестных; \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}(A|b)\) — решений нет
Система \(m\) уравнений с \(n\) неизвестными записывается: координатно (\(\sum_j a_{ij}x_j=b_i\)), матрично (\(AX=b\)), векторно (\(x_1A_1+\dots+x_nA_n=b\), где \(A_j\) — столбцы).
Система совместна, если имеет хотя бы одно решение; иначе — несовместна. Совместная система определённая, если решение одно.
Система совместна \(\iff\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A\,|\,b)\).
Доказательство (вопрос РК №2)
⇒ Если решение \((x_1,\dots,x_n)\) есть, то по векторной форме \(b\) — линейная комбинация столбцов \(A\). Приписывание такого столбца ранг не увеличивает: \(\operatorname{rg}(A|b)=\operatorname{rg}A\).
⇐ Если ранги равны, базисный минор \(A\) является базисным и для \((A|b)\). По теореме о базисном миноре столбец \(b\) — линейная комбинация базисных столбцов: \(b=\sum c_jA_j\). Коэффициенты \(c_j\) (и нули для остальных столбцов) — решение. ∎
\(\begin{cases}x_1+x_2-x_3=1\\2x_1+3x_2+x_3=4\\3x_1+4x_2=c\end{cases}\) при \(c=6\) и \(c=5\).
Система однородная, если \(b=0\): \(AX=0\). Она всегда совместна — есть тривиальное решение \(X=0\).
\(AX=0\) имеет ненулевое решение \(\iff\operatorname{rg}A<n\). Для квадратной \(A\): \(\iff\det A=0\).
Доказательство (вопрос РК №2)
Векторная форма: \(x_1A_1+\dots+x_nA_n=0\). Ненулевое решение есть ⇔ столбцы \(A\) линейно зависимы ⇔ они не все независимы ⇔ \(\operatorname{rg}A<n\) (ранг = максимальное число ЛНЗ столбцов). Для квадратной матрицы это \(\det A=0\) по следствию теоремы о базисном миноре. ∎
При каких \(\lambda\) система \(\begin{cases}\lambda x+y+z=0\\x+\lambda y+z=0\\x+y+\lambda z=0\end{cases}\) имеет ненулевые решения? Найти их при \(\lambda=-2\).
\(\det=\lambda^3-3\lambda+2=(\lambda-1)^2(\lambda+2)=0\Rightarrow\lambda=1\) или \(\lambda=-2\).
\(\lambda=-2\): ранг 2 (сумма всех уравнений — тождество \(0=0\)). Из 1-го и 2-го: вычтем, \(-3x+3y=0\Rightarrow y=x\), тогда \(z=2x-y=x\).
\(\lambda\in\{1;-2\}\); при \(\lambda=-2\): \(X=t(1;1;1)\)
(Образец РК №2, задача 2) \(AX=B\), \(A=\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}-10&-5\\2&2\end{pmatrix}\). Сделать проверку.
Контрольная работа «Кривые и поверхности 2-го порядка» — 14-я неделя.
Общее решение = частное + общее решение однородной
Решения однородной системы образуют «пространство», и в нём есть базис из \(n-r\) решений — фундаментальная система решений (ФСР).
Нормальная ФСР получается, если свободным неизвестным по очереди давать значения «одна единица, остальные нули». Неоднородная система устроена так: любое её решение = одно частное решение + решение однородной. Ровно это спрашивают в задаче 4 РК №2 и в билете экзамена.
Набор из \(n-r\) линейно независимых решений однородной системы (\(r=\operatorname{rg}A\)). Нормальная ФСР: значения свободных неизвестных в \(k\)-м решении — \(k\)-й столбец единичной матрицы.
Если \(r<n\), ФСР существует, и любое решение \(AX=0\) имеет вид \(X=c_1X_1+\dots+c_{n-r}X_{n-r}\).
Идея доказательства (вопрос РК №2)
Пусть \(x_{r+1},\dots,x_n\) свободные. Построим \(X_k\), дав свободным значения из \(k\)-го столбца \(E_{n-r}\) и вычислив базисные. Они ЛНЗ: последние \(n-r\) координат образуют единичную матрицу. Любое решение \(X\) со свободными значениями \(c_1,\dots,c_{n-r}\) совпадает с \(\sum c_kX_k\): у них одинаковые свободные неизвестные, а базисные однозначно через свободные выражаются. ∎
\(\begin{cases}x_1+2x_2-x_3+x_4=0\\2x_1+4x_2+x_3-x_4=0\end{cases}\): нормальная ФСР и общее решение.
Как на неделе 14: \(x_3=x_4\), \(x_1=-2x_2\); свободные \(x_2,x_4\); \(n-r=4-2=2\).
Умножение на комплексное число — поворот с растяжением
В алгебраической форме удобно складывать, в тригонометрической (показательной) — умножать, возводить в степень и извлекать корни.
При умножении модули перемножаются, аргументы складываются. Отсюда формула Муавра и корни \(n\)-й степени: \(n\) точек на окружности, повёрнутых друг относительно друга на \(2\pi/n\).
На семинаре — неоднородные системы. На этой неделе РК №2 по матрицам и СЛАУ.
Тип по \(AC\) → полные квадраты → параметры → обратно в \(x,y\) → чертёж
Поверхность
Полные квадраты → таблица знаков → метод сечений
Разложить \(x^3-1\) на вещественные множители.
\((x-1)(x^2+x+1)\)
Какой вид разложения у \(\frac{x}{(x+2)^3}\)?
\(\frac A{x+2}+\frac B{(x+2)^2}+\frac C{(x+2)^3}\); здесь \(A=0,B=1,C=-2\).
Лекция 17 — резерв. По рейтинг-плану модуль 2 закрывается на 17-й неделе, далее экзамен (30 баллов, минимум 18).
1 теоретический вопрос + 4 задачи
Теория: 0 / 3 / 6 баллов (переводится в 0 / 3 / 5). Задачи: по 0–2 балла, 8 сырых баллов переводятся в рейтинг: 5 → 11, 6 → 14, 7 → 16, 8 → 18. Меньше 5 по задачам — ноль.
Минимум за РК — 14 из 23. Части оцениваются отдельно: если сдал задачи, а теорию нет, переписываешь только теорию (на зачётной неделе, с минимальным баллом).
Теоретический вопрос обычно требует определения + свойств + вывода формулы (как в образце: векторное произведение в координатах). Выводы помечены «вопрос РК» в уроках недель 1–6.
5 сырых баллов из 8 по задачам — порог. Значит, нужно уверенно решать три задачи из четырёх и хотя бы начать четвёртую.
Доказать, что в ПДСК на плоскости уравнение первой степени задаёт прямую.
При \(A\ne0\) точка \(M_0(-C/A;0)\) лежит на множестве, и уравнение равносильно \((\vec n,\overrightarrow{M_0M})=0\), \(\vec n=(A;B)\): это прямая через \(M_0\) перпендикулярно \(\vec n\). Подробно — неделя 4.
Общее уравнение прямой на плоскости и его частные случаи.
Взаимное расположение прямых в пространстве. Вывести формулу расстояния между скрещивающимися прямыми.
Компланарны ⇔ \((\overrightarrow{M_1M_2},\vec s_1,\vec s_2)=0\) (тогда пересекаются или параллельны/совпадают), иначе скрещиваются. Строим параллелепипед на \(\overrightarrow{M_1M_2},\vec s_1,\vec s_2\): его объём \(|(\overrightarrow{M_1M_2},\vec s_1,\vec s_2)|\), площадь основания \(|\vec s_1\times\vec s_2|\); высота — расстояние между параллельными плоскостями, содержащими прямые: \(d=\frac{|(\overrightarrow{M_1M_2},\vec s_1,\vec s_2)|}{|\vec s_1\times\vec s_2|}\).
Пусть \(\vec e=(\cos\alpha;\cos\beta;\cos\gamma)\) — единичная нормаль, направленная от \(O\) к плоскости, \(p\) — расстояние от \(O\). Точка \(M\) лежит в плоскости ⇔ проекция \(\overrightarrow{OM}\) на \(\vec e\) равна \(p\): \((\overrightarrow{OM},\vec e)=p\), т.е. \(x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma-p=0\). \(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\) — направляющие косинусы нормали, \(p\ge0\) — расстояние от начала координат.
Преобразование общего уравнения плоскости к нормальному.
Умножить на \(\mu=\pm\frac1{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\), знак \(\mu\) противоположен знаку \(D\) (при \(D=0\) — любой).
Система двух уравнений непараллельных плоскостей. Направляющий вектор \(\vec s=\vec n_1\times\vec n_2\); точку находят, задав одну координату.
Определение угла между прямой и плоскостью.
Угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость; если прямая ⟂ плоскости — \(\frac\pi2\). \(\varphi\in[0;\frac\pi2]\).
Вывести формулу угла между прямой и плоскостью.
Угол \(\psi\) между \(\vec s\) и \(\vec n\) связан с \(\varphi\): \(\varphi=|\frac\pi2-\psi|\), значит \(\sin\varphi=|\cos\psi|=\frac{|(\vec n,\vec s)|}{|\vec n||\vec s|}\).
Условия параллельности и ортогональности прямой и плоскости.
\(|(\vec a,\vec b,\vec c)|=V\) параллелепипеда, знак = ориентация; циклическая перестановка не меняет, транспозиция меняет знак; \(=0\iff\) компланарны; линейно по каждому аргументу.
Вывести формулу смешанного произведения в ОНБ.
\((\vec a\times\vec b,\vec c)=x_3\begin{vmatrix}y_1&z_1\\y_2&z_2\end{vmatrix}-y_3\begin{vmatrix}x_1&z_1\\x_2&z_2\end{vmatrix}+z_3\begin{vmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix}\) — разложение определителя \(\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}\) по 3-й строке.
Вывести нормальное уравнение прямой на плоскости, смысл параметров.
Как для плоскости: \((\overrightarrow{OM},\vec e)=p\), \(\vec e=(\cos\alpha;\sin\alpha)\) — единичная нормаль от \(O\) к прямой: \(x\cos\alpha+y\sin\alpha-p=0\); \(p\) — расстояние от \(O\), \(\alpha\) — угол нормали с \(Ox\).
Преобразование общего уравнения прямой к нормальному.
Умножить на \(\mu=\pm1/\sqrt{A^2+B^2}\), \(\operatorname{sgn}\mu=-\operatorname{sgn}C\).
Формула расстояния от точки до прямой.
\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\).
Вывести уравнение плоскости через три точки.
\(M\) в плоскости ⇔ \(\overrightarrow{M_1M},\overrightarrow{M_1M_2},\overrightarrow{M_1M_3}\) компланарны ⇔ их смешанное произведение (определитель 3×3) равно 0.
Уравнение плоскости «в отрезках».
\(\frac xa+\frac yb+\frac zc=1\); \(a,b,c\) — координаты точек пересечения с осями (при \(D\ne0\) и \(A,B,C\ne0\)).
Вывести формулу угла между прямыми в пространстве (канонические уравнения).
Угол между прямыми — угол между направляющими (острый): \(\cos\varphi=\frac{|l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}\).
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
\(\vec s=\vec n_1\times\vec n_2\parallel(0;1;0)\): прямая \(x=0,\ z=6\). Проверка: с 1-й прямой пересекается при \(t=-1\) в точке \((0;-1;6)\), со 2-й — при \(u=-1\) в \((0;-4;6)\) ✓
\(\frac x0=\frac{y+5}{1}=\frac{z-6}{0}\)
Общие уравнения прямой через \(M_0(1;-1;-1)\), пересекающей \(\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z+2}{4}\) под прямым углом.
Плоскость через \(M_0\) ⟂ данной прямой: \(2x-3y+4z-1=0\).
Плоскость через \(M_0\) и данную прямую: \(\vec n=(2;-3;4)\times(-4;2;-1)=(-5;-14;-8)\Rightarrow5x+14y+8z+17=0\).
Прямая через точку пересечения плоскости \(2x+y+3z+1=0\) и прямой \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{-1}\), лежащая в плоскости и ⟂ прямой \(\begin{cases}x+y-3z+1=0\\2x+3y+z+3=0\end{cases}\).
Лежат ли в одной плоскости \(\frac{x-1}1=\frac y2=\frac{z+1}1\) и \(\frac x1=\frac{y-1}2=\frac z1\)? Если да — уравнение плоскости, если нет — расстояние.
Параллельны ⇒ лежат: \(x-2y+3z+2=0\) (расстояние между ними \(\sqrt{7/3}\)).
Источник: «Аналитическая геометрия. СМ, РК4, ИУ10. Рейтинг и журналы» — вопросы и задачи для подготовки к контролю по модулю 1, образец контроля. Задача 9 из списка кафедры в исходном файле дана без условий прямых и здесь пропущена.
1 определение + 3 задачи, 8 баллов
Каждый пункт — 0/1/2. Перевод: 6 → 7, 7 → 9, 8 → 12 рейтинговых баллов. Меньше 6 — ноль, переписывание на зачётной неделе.
Порог высокий (6 из 8), поэтому важны аккуратность и чертёж: без чертежа задача часто не засчитывается полностью. Ошибка в выделении полного квадрата — главный источник потерь.
определение ГМТ + каноническое уравнение + чертёж · полный квадрат → тип → параметры в исходных координатах · поверхность: таблица знаков
ГМТ плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна и больше расстояния между фокусами. Фокусы \((\pm c;0)\): \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\ b^2=a^2-c^2\).
ГМТ, модуль разности расстояний от которых до двух фокусов постоянен и меньше расстояния между фокусами. \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\ b^2=c^2-a^2\), асимптоты \(y=\pm\frac bax\).
ГМТ, равноудалённых от фокуса \(F(\frac p2;0)\) и директрисы \(x=-\frac p2\): \(y^2=2px\).
На чертеже обязательно: центр/вершина, полуоси (основной прямоугольник для гиперболы), фокусы, асимптоты или директриса.
Большая ось вертикальна: \(a=5\) (по \(y\)), \(b=\sqrt5\), \(c=\sqrt{20}=2\sqrt5\), \(e=\frac{2\sqrt5}5\). Центр \((-2;1)\), фокусы \((-2;1\pm2\sqrt5)\).
\(C\) на эллипсе: \(\frac45+\frac5{25}=1\) ✓. Расстояния до фокусов: \(\sqrt{4+45}=7\) и \(\sqrt{4+5}=3\); сумма \(10=2a\) ✓
Определение гиперболы, каноническое уравнение (фокусы на \(Ox\)), чертёж.
См. первый этап.
\(x^2-6x+8y+1=0\).
\((x-3)^2=-8(y-1)\): парабола, вершина \((3;1)\), ветви вниз, \(p=4\), \(F(3;-1)\), директриса \(y=3\).
Эллипс с фокусами \((\pm3;0)\) и \(e=\frac35\).
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)
\(x^2+y^2-z^2-2x+4z-3=0\).
\((x-1)^2+y^2-(z-2)^2=0\): круговой конус с вершиной \((1;0;2)\), ось \(\parallel Oz\).
Источник: «Рейтинг и журналы» — образец КР и задачи для подготовки к контрольной работе; примеры ДЗ №2 и типовой экзаменационный билет.
1 теоретический вопрос + 3 задачи
Теория: 0/1/3. Задачи 2 и 3 — по 0–2, задача 4а — 0–2, 4б и 4в — по 0–1. Перевод задач: 5 → 9, 6 → 10, 7 → 12, 8 → 14; меньше 5 — ноль.
Задача 4 (исследовать СЛАУ, ФСР, общее решение, проверка) — самая дорогая: 4 сырых балла. Проверка (4в) — лёгкий балл, его не теряй.
матричное уравнение (2 балла) + ранг с параметром (2) + СЛАУ полностью (4) = 8; минимум 10 рейтинговых из 17
Линейные операции над матрицами и их свойства.
Сумма и умножение на число поэлементно; свойства — коммутативность и ассоциативность сложения, нулевая и противоположная матрицы, дистрибутивность, \(\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A\), \(1\cdot A=A\).
Линейная зависимость строк (столбцов).
Существует нетривиальная линейная комбинация строк, равная нулевой строке.
Критерий линейной зависимости строк — с доказательством.
ЛЗ ⇔ одна строка — комбинация остальных. Доказательство дословно как для векторов (неделя 2).
Элементарные преобразования строк (столбцов).
Перестановка; умножение на число \(\ne0\); прибавление строки, умноженной на число.
Определение обратной матрицы.
\(AA^{-1}=A^{-1}A=E\) (\(A\) квадратная).
Критерий существования обратной — с доказательством.
\(\exists A^{-1}\iff\det A\ne0\). Необходимость — через \(\det(AA^{-1})=1\); достаточность — \(A\tilde A=\det A\cdot E\) (неделя 11).
Обнуляем первый столбец: \(R_3-2(R_1-R_3)=(0;3;1;-5;8\,|\,3)\); остальные строки после исключения оказываются комбинациями этих двух ⇒ \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|b)=2\), совместна, \(n-r=3\).
Удобно взять базисными \(x_1,x_3\): \(x_3=3-3x_2+5x_4-8x_5\), \(x_1=-2+4x_2-3x_4+2x_5\).
Все миноры 3-го порядка содержат множитель \((\lambda-2)\) (например, столбцы 1, 4, 5 дают ровно \(\lambda-2\), столбцы 2, 3, 5 — \(5(\lambda-2)\)). \(\lambda\ne2\): ранг 3; \(\lambda=2\): ранг 2.
\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=4\\x_1-x_2+2x_3-x_4=1\end{cases}\): частное решение, нормальная ФСР (свободные \(x_2,x_4\)), общее решение, проверка.
\(X=(7;0;-3;0)+c_1(-3;1;2;0)+c_2(-3;0;2;1)\)
Источник: «Рейтинг и журналы» — вопросы и задачи для подготовки к контролю по модулю 2, образец контроля №2. Решения систем проверены точной арифметикой.