Математический анализ

Анализ начинается с языка: окрестности, грани, функции

Почти все определения курса формулируются через окрестности точки. Поэтому с первой недели нужно уверенно понимать, что такое \(U(a,\delta)\) и \(U(\infty)\).

Функция — правило, ставящее каждому \(x\) из области определения ровно одно \(y\). Свойства (чётность, монотонность, периодичность, ограниченность) нужны и для построения графиков в ДЗ №1, и для исследования функций в конце семестра.

окрестности → ограниченность, \(\sup\) и \(\inf\) → функция, её свойства → обратная функция → основные элементарные функции

\(\mathbb R\) — множество действительных чисел; промежутки \([a;b],\ (a;b),\ [a;b),\ (a;+\infty)\) и т.д.

\(\delta\)-окрестность точки \(a\): \(U(a,\delta)=(a-\delta;a+\delta)\); проколотая \(\mathring U(a,\delta)=U(a,\delta)\setminus\{a\}\). Окрестности бесконечности: \(U(+\infty,M)=(M;+\infty)\), \(U(-\infty,M)=(-\infty;-M)\), \(U(\infty,M)=\{|x|>M\}\).

\(X\) ограничено сверху, если \(\exists M:\ \forall x\in X\ x\le M\); снизу — аналогично; ограничено — если и сверху, и снизу (\(\exists M:\ |x|\le M\)).

\(\sup X=M\), если 1) \(\forall x\in X:\ x\le M\) (верхняя граница) и 2) \(\forall\varepsilon>0\ \exists x\in X:\ x>M-\varepsilon\) (меньше уже нельзя). Аналогично \(\inf X\).

Любое непустое ограниченное сверху множество в \(\mathbb R\) имеет точную верхнюю грань (свойство полноты \(\mathbb R\)).

\(\sup\) может не принадлежать множеству: у \((0;1)\) \(\sup=1\), но максимума нет. Поэтому sup — «наименьшая из верхних границ», а не «наибольший элемент».

\(X=\{1-\frac1n,\ n\in\mathbb N\}\). Найти \(\sup X\) и \(\inf X\).

Элементы: \(0,\frac12,\frac23,\dots\) — возрастают. Наименьший \(0\) (при \(n=1\)) ⇒ \(\inf X=\min X=0\).
Все \(<1\). Для любого \(\varepsilon>0\) возьмём \(n>\frac1\varepsilon\): \(1-\frac1n>1-\varepsilon\) ⇒ \(\sup X=1\), но \(1\notin X\).

\(\inf=0\) (достигается), \(\sup=1\) (не достигается)

\(\sup\{x\in\mathbb Q:\ x^2<2\}\)?

\(\sqrt2\) — в \(\mathbb Q\) грани нет, а в \(\mathbb R\) есть: так проявляется полнота.

Функция \(f:X\to Y\) — правило, сопоставляющее каждому \(x\in X\) единственный \(y=f(x)\). \(X=D(f)\) — область определения, \(f(X)=E(f)\) — множество значений. График — \(\{(x;f(x))\}\).

Композиция (сложная функция): \((g\circ f)(x)=g(f(x))\).
Чётная: \(D\) симметрична и \(f(-x)=f(x)\) (график симметричен относительно \(Oy\)); нечётная: \(f(-x)=-f(x)\) (симметрия относительно \(O\)).
Монотонная: возрастающая \(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\), неубывающая (\(\le\)), и т.д.
Периодическая с периодом \(T>0\): \(f(x+T)=f(x)\).
Ограниченная на \(X\): \(|f(x)|\le M\).

Если \(f\) взаимно однозначна (например, строго монотонна), то \(f^{-1}\): \(y\mapsto x\), где \(f(x)=y\). Графики \(f\) и \(f^{-1}\) симметричны относительно \(y=x\).

Основные: постоянная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические. Элементарные — полученные из основных конечным числом арифметических действий и композиций.

(ДЗ №1, задача 1) Найти \(D(y)\), \(y=\lg\dfrac{x+4}{1-2x}\).

Аргумент логарифма \(>0\): \(\frac{x+4}{1-2x}>0\).
Метод интервалов: нули числителя \(-4\), знаменателя \(\frac12\); дробь положительна между ними.

\(D=(-4;\tfrac12)\)

(ДЗ №1, задача 2) Чётность \(y=\operatorname{ctg}(\cos(\operatorname{tg}x))\).

Область определения симметрична: \(\operatorname{tg}x\) определён при \(x\ne\frac\pi2+\pi k\), а \(\operatorname{ctg}u\) требует \(u=\cos(\operatorname{tg}x)\ne0\); оба условия не меняются при \(x\to-x\).
\(\operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg}x\), но \(\cos\) чётен: \(\cos(\operatorname{tg}(-x))=\cos(\operatorname{tg}x)\).

чётная: \(y(-x)=y(x)\)

Функция	\(D\)	\(E\)
\(\arcsin x\)	\([-1;1]\)	\([-\frac\pi2;\frac\pi2]\)
\(\arccos x\)	\([-1;1]\)	\([0;\pi]\)
\(\operatorname{arctg}x\)	\(\mathbb R\)	\((-\frac\pi2;\frac\pi2)\)
\(\operatorname{arcctg}x\)	\(\mathbb R\)	\((0;\pi)\)

\(\arcsin(\sin x)=x\) только при \(x\in[-\frac\pi2;\frac\pi2]\)! В остальных случаях нужно вернуть аргумент в главный промежуток.

Вычислить \(\arcsin(\sin3)\) и \(\arccos(\cos5)\).

\(3\notin[-\frac\pi2;\frac\pi2]\), но \(\sin3=\sin(\pi-3)\) и \(\pi-3\approx0{,}14\) — в промежутке.
\(5\notin[0;\pi]\); \(\cos5=\cos(2\pi-5)\), \(2\pi-5\approx1{,}28\in[0;\pi]\).

\(\pi-3\); \(2\pi-5\)

\(D\left(\sqrt{x^2-4}+\arcsin\frac{x-1}{3}\right)\).

Корень: \(x^2\ge4\iff x\le-2\) или \(x\ge2\).
Арксинус: \(-1\le\frac{x-1}3\le1\iff-2\le x\le4\).
Пересечение.

\(D=\{-2\}\cup[2;4]\)

Период \(y=\sin^2x\)?

\(\pi\) (\(\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2\)).

Обратная к \(y=2x+3\)?

\(y=\frac{x-3}2\)

Чётна ли \(y=x^2+x\)?

Ни чётна, ни нечётна: \(y(-1)=0\ne y(1)=2\) и \(\ne-y(1)\).

Лекция 1. Множества, функции. ОЛ-1 (Морозова), гл. 1–3.

Занятия 1–4. Основные элементарные функции, графики; кривые в полярных координатах.
Ауд.: ДЛ-4 (Бараненков–Демидович) №№ 63, 67, 71, 72, 77, 91, 93, 101, 102, 110, 116, 118, 128(а), 132, 135, 136, 139, 140, 146, 153; раздаточный материал.
Дома: №№ 51(2), 60, 65, 69, 73, 92, 95, 112, 114, 122, 127(а), 138, 141, 145, 154.

ДЗ №1 и ДЗ №2 выдаются на 1-й неделе.

Предел — то, к чему члены подходят сколь угодно близко

«Для любого \(\varepsilon\) найдётся \(N\)» — это игра: тебе задают точность, ты называешь номер, начиная с которого все члены укладываются в эту точность.

Задача 1 ДЗ №2 — ровно эта игра: найти \(N(\varepsilon)\) и заполнить таблицу. Затем — свойства пределов и теорема Вейерштрасса, которая даёт число \(e\).

На семинаре — преобразования графиков (задача 3 ДЗ №1).

\(\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ \forall n>N\ |a_n-a|<\varepsilon\) → единственность, ограниченность → монотонная + ограниченная ⇒ сходится → \(e\)

\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\), если \(\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon):\ \forall n>N\ \ |a_n-a|<\varepsilon\).

Геометрически: вне любой \(\varepsilon\)-окрестности точки \(a\) лежит лишь конечное число членов. Последовательность с конечным пределом — сходящаяся, иначе — расходящаяся.

\(\lim a_n=+\infty\): \(\forall M>0\ \exists N:\ \forall n>N\ a_n>M\).

\(a_n=\dfrac{2-3n^2}{4+5n^2}\), \(a=-\frac35\). Доказать, что \(\lim a_n=a\), найти \(N(\varepsilon)\) для \(\varepsilon=0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001\).

\(|a_n-a|=\left|\frac{5(2-3n^2)+3(4+5n^2)}{5(4+5n^2)}\right|=\frac{22}{5(4+5n^2)}\).
\(\frac{22}{5(4+5n^2)}<\varepsilon\iff n^2>\frac15\left(\frac{22}{5\varepsilon}-4\right)\). Берём \(N(\varepsilon)=\left[\sqrt{\frac15\left(\frac{22}{5\varepsilon}-4\right)}\right]\) (целая часть).
\(\varepsilon=0{,}1\): \(\sqrt{8}\approx2{,}83\Rightarrow N=2\). \(\varepsilon=0{,}01\): \(\sqrt{87{,}2}\approx9{,}34\Rightarrow N=9\). \(\varepsilon=0{,}001\): \(\sqrt{879{,}2}\approx29{,}65\Rightarrow N=29\).
Контроль: \(n=10\): \(\frac{22}{5\cdot504}\approx0{,}0087<0{,}01\); \(n=9\): \(\approx0{,}0108>0{,}01\) — граница найдена точно.

\(\varepsilon\)	0,1	0,01	0,001
\(N(\varepsilon)\)	2	9	29

Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство (вопрос экзамена)

Пусть \(a_n\to a\), \(a_n\to b\), \(a\ne b\). Возьмём \(\varepsilon=\frac{|a-b|}2\): начиная с некоторого номера \(|a_n-a|<\varepsilon\) и \(|a_n-b|<\varepsilon\). Тогда \(|a-b|\le|a-a_n|+|a_n-b|<2\varepsilon=|a-b|\) — противоречие. ∎

Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство (вопрос РК №1)

При \(\varepsilon=1\): \(\forall n>N\ |a_n|<|a|+1\). Положим \(M=\max(|a_1|,\dots,|a_N|,|a|+1)\) — тогда \(|a_n|\le M\) для всех \(n\). ∎

Арифметика: если \(a_n\to a,\ b_n\to b\), то \(a_n\pm b_n\to a\pm b\), \(a_nb_n\to ab\), \(\frac{a_n}{b_n}\to\frac ab\) (\(b\ne0\)).
Критерий Коши: \((a_n)\) сходится ⇔ \(\forall\varepsilon\ \exists N:\ \forall n,m>N\ |a_n-a_m|<\varepsilon\).
Вейерштрасс: монотонная ограниченная последовательность сходится.

\(\left(1+\frac1n\right)^n\) возрастает и ограничена (\(<3\)) ⇒ имеет предел \(e\approx2{,}718\).

\(\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}2,\ \operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\ \operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}\); \(\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1\).

\(a_1=\sqrt2,\ a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\). Найти \(\lim a_n\).

Ограниченность: если \(a_n<2\), то \(a_{n+1}<\sqrt4=2\); база \(a_1<2\) ⇒ все \(<2\).
Монотонность: \(a_{n+1}^2-a_n^2=2+a_n-a_n^2=(2-a_n)(1+a_n)>0\) ⇒ возрастает.
По Вейерштрассу \(\exists L\). Переходим к пределу: \(L=\sqrt{2+L}\Rightarrow L^2-L-2=0\Rightarrow L=2\) (\(L>0\)).

\(2\)

Было \(y=f(x)\), стало	Что делаем с графиком
\(f(x)+b\)	сдвиг на \(b\) вверх
\(f(x+a)\)	сдвиг на \(a\) влево (при \(a>0\))
\(kf(x)\)	растяжение от \(Ox\) в \(k\) раз
\(f(kx)\)	сжатие к \(Oy\) в \(k\) раз
\(-f(x)\) / \(f(-x)\)	отражение относительно \(Ox\) / \(Oy\)
\(\|f(x)\|\)	часть под \(Ox\) отражаем вверх
\(f(\|x\|)\)	правую половину отражаем на левую

В \(f(kx+b)\) сначала вынеси \(k\): \(f(k(x+\frac bk))\) — сдвиг на \(\frac bk\), а не на \(b\).

а) \(y=-\sin\left(2x+\frac\pi4\right)-1\).

\(\sin2x\) — сжатие в 2 раза (период \(\pi\)).
\(\sin2(x+\frac\pi8)\) — сдвиг на \(\frac\pi8\) влево.
Минус — отражение относительно \(Ox\); \(-1\) — сдвиг вниз. Значения от \(-2\) до \(0\).

б) \(y=2\sqrt[3]{x+5}-1\).

\(\sqrt[3]x\): влево на 5, растяжение в 2 раза, вниз на 1. Центр симметрии \((-5;-1)\).

в) \(y=\big|1-\lg|x+1|\big|\).

\(\lg|x|\) — график \(\lg x\) и его отражение на \(x<0\); сдвиг влево на 1 ⇒ \(\lg|x+1|\), асимптота \(x=-1\).
\(1-\lg|x+1|\): отражение относительно \(Ox\) и подъём на 1; нули при \(|x+1|=10\): \(x=9,\ x=-11\).
Модуль отражает отрицательную часть вверх.

г) \(y=\frac13\cdot2^{2x+1}-\frac43\); д) \(y=\frac{3\pi}8+\frac32\operatorname{arctg}(2x-3)\).

г) \(\frac23\cdot4^x-\frac43\): экспонента \(4^x\), растяжение \(\frac23\), асимптота \(y=-\frac43\), ноль при \(x=\frac12\). д) арктангенс, сдвиг вправо на \(\frac32\), сжатие в 2 раза, растяжение \(\frac32\), подъём на \(\frac{3\pi}8\); асимптоты \(y=\frac{3\pi}8\pm\frac{3\pi}4\), т.е. \(y=\frac{9\pi}8\) и \(y=-\frac{3\pi}8\).

Решить \(\operatorname{sh}x=\frac34\) и показать, что \(\operatorname{ch}x\ge1\).

\(e^x-e^{-x}=\frac32\); \(t=e^x>0\): \(t^2-\frac32t-1=0\Rightarrow t=2\) (второй корень \(-\frac12\) отбрасываем).
\(\operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}2\ge\sqrt{e^xe^{-x}}=1\) (среднее арифметическое ≥ среднего геометрического).

\(x=\ln2\)

Сходится ли \(a_n=(-1)^n\)?

Нет: члены попеременно \(\pm1\); при \(\varepsilon=\frac12\) ни одна точка не подходит.

Обязательно ли ограниченная последовательность сходится?

Нет (пример выше). Нужна ещё монотонность.

Лекция 2. ОЛ-1, гл. 6. МП-4 (Ильичев и др.) «Графики элементарных функций и их преобразования».

Номера задач занятий 1–4 — см. неделю 1.

Два взгляда на один предел

По Коши: близкие \(x\) дают близкие \(f(x)\) (язык \(\varepsilon\)–\(\delta\)). По Гейне: любая последовательность \(x_n\to a\) даёт \(f(x_n)\to A\). Они эквивалентны.

Определение по Коши удобно, чтобы доказать, что предел есть; по Гейне — чтобы доказать, что его нет (достаточно двух последовательностей с разными пределами).

На семинаре — кривые в полярных координатах и параметрические кривые.

Коши: \(\forall\varepsilon\ \exists\delta\) · Гейне: \(\forall x_n\to a\) · нет предела ⇐ две последовательности с разными \(f(x_n)\)

\(\lim\limits_{x\to a}f(x)=A\), если \(\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ \forall x,\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon\).

\(\lim\limits_{x\to a}f(x)=A\), если для любой последовательности \(x_n\to a\), \(x_n\ne a\), выполнено \(f(x_n)\to A\).

Общая запись на языке окрестностей: \(\forall U(A)\ \exists\mathring U(a):\ x\in\mathring U(a)\Rightarrow f(x)\in U(A)\). Подставляя окрестности конечной точки или бесконечности, получаем все варианты:

Предел	Определение
\(\lim_{x\to\infty}f=A\)	\(\forall\varepsilon\ \exists M:\ \|x\|>M\Rightarrow\|f-A\|<\varepsilon\)
\(\lim_{x\to a}f=\infty\)	\(\forall E\ \exists\delta:\ 0<\|x-a\|<\delta\Rightarrow\|f\|>E\)
\(\lim_{x\to a-0}f=+\infty\)	\(\forall E>0\ \exists\delta>0:\ a-\delta<x<a\Rightarrow f(x)>E\)
\(\lim_{x\to+\infty}f=-\infty\)	\(\forall E\ \exists M:\ x>M\Rightarrow f(x)<-E\)

Определения по Коши и по Гейне эквивалентны.

Доказать по Коши: \(\lim\limits_{x\to2}(3x-1)=5\).

\(|f(x)-5|=|3x-6|=3|x-2|\).
Хотим \(3|x-2|<\varepsilon\): достаточно \(|x-2|<\frac\varepsilon3\). Берём \(\delta=\frac\varepsilon3\).

\(\delta(\varepsilon)=\varepsilon/3\)

Доказать, что \(\lim\limits_{x\to0}\sin\frac1x\) не существует.

\(x_n=\frac1{\pi n}\to0\): \(\sin\frac1{x_n}=\sin\pi n=0\to0\).
\(x_n'=\frac1{\frac\pi2+2\pi n}\to0\): \(\sin\frac{1}{x'_n}=1\to1\).
Разные пределы ⇒ по Гейне предела нет.

(Образец РК №1, вопрос 2) Определение по Коши для \(\lim\limits_{x\to a-0}f(x)=+\infty\); пример.

\(\forall E>0\ \exists\delta>0:\ \forall x\in(a-\delta;a)\ f(x)>E\). Пример: \(f=\frac1{a-x}\), \(\delta=\frac1E\). Иллюстрация: график слева от прямой \(x=a\) уходит вверх выше любой горизонтали \(y=E\).

Если предел функции в точке существует, он единственный (по Гейне сводится к последовательностям).

Если \(\lim_{x\to a}f(x)=A\) конечен, то \(f\) ограничена в некоторой проколотой окрестности \(a\).

Доказательство (вопрос экзамена)

Возьмём \(\varepsilon=1\): \(\exists\delta:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-A|<1\Rightarrow|f(x)|<|A|+1\). ∎

Если \(\lim_{x\to a}f(x)=A>0\), то \(f(x)>0\) в некоторой \(\mathring U(a)\) (аналогично для \(A<0\)).

Доказательство (вопрос экзамена)

\(\varepsilon=\frac A2\): \(|f(x)-A|<\frac A2\Rightarrow f(x)>A-\frac A2=\frac A2>0\). ∎

\(x=r\cos\varphi,\ y=r\sin\varphi\); \(r=\sqrt{x^2+y^2}\). Кривая \(r=r(\varphi)\) строится по таблице значений: для каждого угла откладываем расстояние \(r\ge0\) (при \(r<0\) обычно точку не строят — уточни у преподавателя принятое соглашение).

Что за кривая \(r=4\cos\varphi\)?

Умножим на \(r\): \(r^2=4r\cos\varphi\Rightarrow x^2+y^2=4x\).
\((x-2)^2+y^2=4\).

окружность с центром \((2;0)\), \(R=2\) (\(\varphi\in[-\frac\pi2;\frac\pi2]\))

Построить \(r=2(1+\cos\varphi)\) по таблице.

\(\varphi\)	0	\(\frac\pi3\)	\(\frac\pi2\)	\(\frac{2\pi}3\)	\(\pi\)
\(r\)	4	3	2	1	0

симметрично относительно \(Ox\) (\(r(-\varphi)=r(\varphi)\)) — кардиоида выше

Кривая \(r=\frac1\varphi\), \(\varphi>0\). Что происходит при \(\varphi\to+0\)?

\(x=\frac{\cos\varphi}\varphi\to+\infty\), \(y=\frac{\sin\varphi}{\varphi}\to1\) (первый замечательный предел — неделя 5).
Значит, ветвь уходит вправо, прижимаясь к прямой \(y=1\) — асимптота.
При \(\varphi\to+\infty\): \(r\to0\), спираль накручивается на начало координат.

горизонтальная асимптота \(y=1\)

Записать по Коши \(\lim_{x\to\infty}f(x)=3\).

\(\forall\varepsilon>0\ \exists M>0:\ |x|>M\Rightarrow|f(x)-3|<\varepsilon\)

Существует ли \(\lim_{x\to+\infty}\cos x\)?

Нет: \(x_n=2\pi n\) даёт 1, \(x_n=\pi+2\pi n\) даёт −1.

Лекция 3. ОЛ-1, пп. 7.1, 7.3, 7.4; ОЛ-3 (Пискунов), гл. II §§2, 3, 5. МП-2, МП-5 — полярные и параметрические кривые.

Предел = значение + бесконечно малая добавка

\(\lim f=A\) ⇔ \(f=A+\alpha\), где \(\alpha\to0\). Это переводит теоремы о пределах в теоремы о бесконечно малых, которые доказываются в одну строку.

Отсюда арифметика пределов и теорема о двух милиционерах. Двусторонний предел есть ⇔ есть оба односторонних и они равны.

На семинаре — техника пределов последовательностей: деление на старшую степень, сопряжённое выражение. Срок сдачи ДЗ №1.

\(f=A+\alpha\) · (б.м.)·(огранич.) = б.м. · зажатая функция · \(\lim_{a-0}=\lim_{a+0}\iff\exists\lim_a\) · «делим на старшую степень»

Если \(f(x)\le g(x)\) в \(\mathring U(a)\) и пределы существуют, то \(\lim f\le\lim g\). (Строгое неравенство может стать нестрогим!)

Доказательство (вопрос экзамена)

Пусть \(A=\lim f>B=\lim g\). Тогда \(\lim(f-g)=A-B>0\), и по теореме о сохранении знака \(f-g>0\) в некоторой окрестности — противоречие с \(f\le g\). ∎

Если \(f\le h\le g\) в \(\mathring U(a)\) и \(\lim f=\lim g=A\), то \(\lim h=A\).

Доказательство

Для \(\varepsilon>0\) найдём общую окрестность, где \(A-\varepsilon<f\) и \(g<A+\varepsilon\). Там \(A-\varepsilon<f\le h\le g<A+\varepsilon\). ∎

\(\lim_{x\to a-0}f=A\): \(\forall\varepsilon\ \exists\delta:\ a-\delta<x<a\Rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon\) (слева); \(x\to a+0\) — справа.

\(\exists\lim_{x\to a}f=A\iff\lim_{x\to a-0}f=\lim_{x\to a+0}f=A\).

Доказательство (вопрос РК №1)

⇒ Если \(|f-A|<\varepsilon\) при \(0<|x-a|<\delta\), то и с каждой стороны отдельно.

⇐ Берём \(\delta_1\) для левого и \(\delta_2\) для правого пределов, \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2)\) — подходит для обеих сторон сразу. ∎

\(\alpha(x)\) — бесконечно малая (б.м.) при \(x\to a\), если \(\lim_{x\to a}\alpha(x)=0\).

\(\lim_{x\to a}f(x)=A\iff f(x)=A+\alpha(x)\), где \(\alpha\) — б.м. при \(x\to a\).

Доказательство (вопрос РК №1)

Положим \(\alpha=f-A\). Условие \(|f-A|<\varepsilon\) — то же, что \(|\alpha-0|<\varepsilon\). ∎

Сумма конечного числа б.м. — б.м.
Произведение б.м. на ограниченную функцию — б.м.
Произведение б.м. — б.м.

Доказательство свойств 1 и 2 (вопросы РК №1)

Если \(\lim f=A,\ \lim g=B\), то \(\lim(f\pm g)=A\pm B\), \(\lim fg=AB\), \(\lim\frac fg=\frac AB\) (\(B\ne0\)).

Доказательство для произведения

\(f=A+\alpha,\ g=B+\beta\): \(fg=AB+(A\beta+B\alpha+\alpha\beta)\); скобка — б.м. по свойствам ⇒ \(\lim fg=AB\). ∎

\(\lim_{x\to0}x\sin\frac1x\) и \(\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}n\).

Оба 0: б.м. (\(x\) или \(\frac1n\)) × ограниченная (\(|\sin|\le1\)).

Односторонние пределы в точке 0: \(2^{1/x}\), \(\frac{|x|}x\); в точке 1: \(\operatorname{arctg}\frac1{x-1}\).

\(x\to0-\): \(\frac1x\to-\infty\Rightarrow2^{1/x}\to0\); \(x\to0+\): \(\to+\infty\).
\(\frac{|x|}{x}=\mp1\) слева/справа.
\(\frac1{x-1}\to\mp\infty\Rightarrow\operatorname{arctg}\to\mp\frac\pi2\).

во всех трёх случаях двустороннего предела нет

\(\frac\infty\infty\) для многочленов и корней: делим числитель и знаменатель на старшую степень \(n\) (учитывая, что \(\sqrt{n^6}=n^3\), \(\sqrt[4]{16n}=2n^{1/4}\)). Короче: оставить в числителе и знаменателе главные слагаемые.
\(\infty-\infty\) с корнями: домножить на сопряжённое: \(\sqrt a-\sqrt b=\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}\).
Суммы: \(1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2\), \(1+q+\dots+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).

\(\ln n\ll n^\alpha\ (\alpha>0)\ll a^n\ (a>1)\ll n!\ll n^n\).

\(\lim\dfrac{n^3+3n^2+3n+1}{\sqrt{4n^6+5n^3}}\).

Главные части: \(n^3\) и \(\sqrt{4n^6}=2n^3\).

\(\frac12\)

\(\lim\dfrac{(n-2)(n+1)(n-3)}{\sqrt{n^8-7n^6}}\).

\(\frac{n^3}{n^4}\to0\)

\(\lim\dfrac{\sqrt{5n-3}-\sqrt[3]{27n^3+7}}{\sqrt[4]{16n-5}}\).

Числитель: \(\sqrt{5n}\ll3n\), главная часть \(-3n\). Знаменатель \(\sim2n^{1/4}\).
\(\frac{-3n}{2n^{1/4}}=-\frac32n^{3/4}\to-\infty\).

\(-\infty\)

\(\lim(\sqrt{n^2+n}-n)\) и \(\lim\frac{1+2+\dots+n}{n^2}\).

\(\frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{n(\sqrt{1+1/n}+1)}\to\frac12\).
\(\frac{n(n+1)}{2n^2}\to\frac12\).

\(\frac12\) и \(\frac12\)

\(\lim\sqrt[n]{2^n+3^n}\).

\(3^n\le2^n+3^n\le2\cdot3^n\Rightarrow3\le\sqrt[n]{2^n+3^n}\le3\sqrt[n]2\).
\(\sqrt[n]2=2^{1/n}\to1\) ⇒ правая часть \(\to3\).

\(3\) — по теореме о промежуточной функции

\(\lim\frac{2n^2-1}{3-n^2}\)?

\(-2\)

\(f<g\) и пределы существуют. Верно ли, что \(\lim f<\lim g\)?

Нет, только \(\le\): \(\frac1n>0\), но \(\lim\frac1n=0\).

Лекция 4. ОЛ-1, пп. 7.4–7.6; ОЛ-3, гл. II §§4, 5.

Занятие 5. Пределы числовых последовательностей.
Ауд.: ОЛ-4 (Ефимов–Демидович, ч.1) №№ 1.230(б), 1.232, 1.233, 1.235, 1.236, 1.238, 1.240, 1.282, 1.284, 1.299, 1.301 (или ДЛ-4 №№ 170(а,в), 171, 173, 175, 179).
Дома: ОЛ-4 №№ 1.74, 1.77, 1.230(г), 1.234, 1.239, 1.241, 1.243, 1.283, 1.286, 1.294, 1.299, 1.300, 1.302, 1.237.

Срок сдачи ДЗ №1 — 4-я неделя.

Таблица эквивалентностей — главный инструмент модуля

Из двух замечательных пределов выводится таблица: \(\sin x\sim x\), \(\ln(1+x)\sim x\), \(e^x-1\sim x\), \(1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}\)… В произведениях и частных б.м. можно заменять на эквивалентные.

Без неё пределы считаются долго, с ней — в одну-две строки. Но заменять можно только множители, а не слагаемые: это самая частая ошибка на РК.

На семинаре — пределы алгебраических функций: разложение на множители, сопряжённые выражения.

\(\frac{\sin x}x\to1\) и \((1+\frac1x)^x\to e\) → таблица эквивалентностей → замена множителей → \(1^\infty\): \(\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}\)

Если \(\lim_{x\to a}g(x)=b\), \(g(x)\ne b\) в \(\mathring U(a)\), и \(\lim_{y\to b}f(y)=A\), то \(\lim_{x\to a}f(g(x))=A\). Это законная «замена переменной» \(y=g(x)\).

Доказательство (вопрос экзамена)

\(f\) — бесконечно большая (б.б.) при \(x\to a\), если \(\lim_{x\to a}f=\infty\).

Если \(\alpha\) — б.м. и \(\alpha\ne0\) в \(\mathring U(a)\), то \(\frac1\alpha\) — б.б.; если \(f\) — б.б., то \(\frac1f\) — б.м.

Доказательство (вопрос РК №1)

Для \(E>0\) возьмём \(\varepsilon=\frac1E\): найдётся \(\delta\), при котором \(0<|\alpha|<\frac1E\), т.е. \(\left|\frac1\alpha\right|>E\). Обратное — аналогично. ∎

(Подготовка к РК №1, 4) \(\lim\limits_{x\to2}\left(\frac1{2-x}-\frac{12}{8-x^3}\right)\).

\(8-x^3=(2-x)(4+2x+x^2)\); общий знаменатель: \(\frac{x^2+2x+4-12}{(2-x)(x^2+2x+4)}\).
\(x^2+2x-8=(x-2)(x+4)\) — сокращаем \((x-2)\) с \((2-x)\), получаем \(-\frac{x+4}{x^2+2x+4}\).

\(-\frac6{12}=-\frac12\)

(5) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{\sqrt[3]{8+x}-\sqrt[3]{8-x}}\).

Числитель через сопряжённое: \(\frac{2x}{\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}}\sim\frac{2x}{4}\).
Знаменатель: \(A-B=\frac{A^3-B^3}{A^2+AB+B^2}=\frac{2x}{A^2+AB+B^2}\sim\frac{2x}{12}\).

\(\frac{x/2}{x/6}=3\)

(6) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\sqrt{4x^2+3x+2}-\sqrt{4x^2-3x+2}\right)\).

Сопряжённое: \(\frac{6x}{\sqrt{4x^2+3x+2}+\sqrt{4x^2-3x+2}}\).
При \(x\to-\infty\): \(\sqrt{4x^2}=2|x|=-2x\); знаменатель \(\sim-4x\).

\(-\frac32\) (знак — из-за \(|x|=-x\)!)

(ДЗ №2, 2а) \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^4-1}{x^3-5x+4}\).

\(x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)\); \(x^3-5x+4=(x-1)(x^2+x-4)\).

\(\frac{2\cdot2}{-2}=-2\)

\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=\lim_{t\to0}(1+t)^{1/t}=e.\]

Вывод первого (вопрос РК №1)

Для \(0<x<\frac\pi2\) в единичном круге: площадь треугольника \(<\) площадь сектора \(<\) площадь большого треугольника: \(\frac12\sin x<\frac12x<\frac12\operatorname{tg}x\). Делим на \(\frac12\sin x\): \(1<\frac x{\sin x}<\frac1{\cos x}\), т.е. \(\cos x<\frac{\sin x}x<1\). При \(x\to0\) \(\cos x\to1\) — по теореме о промежуточной функции предел 1. Функция чётна ⇒ слева тоже. ∎

\(\frac{\operatorname{tg}x}x,\ \frac{\arcsin x}x,\ \frac{\operatorname{arctg}x}x\to1\); \(\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12\); \(\frac{\ln(1+x)}x\to1\); \(\frac{e^x-1}x\to1\); \(\frac{a^x-1}x\to\ln a\); \(\frac{(1+x)^\mu-1}x\to\mu\).

Если \(u\to1,\ v\to\infty\), то \(\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}\).

\(u^v=e^{v\ln u}\), а \(\ln u=\ln(1+(u-1))\sim u-1\).

\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin5x}{\operatorname{tg}3x}\), \(\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos4x}{x^2}\).

\(\frac{5x}{3x}=\frac53\); \(\frac{(4x)^2/2}{x^2}=8\)

\(\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac2x\right)^{3x}\), \(\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^x\).

\(e^{\lim3x\cdot\frac2x}=e^6\).
\(u-1=\frac{3}{x-2}\), \(v(u-1)=\frac{3x}{x-2}\to3\).

\(e^6\); \(e^3\)

Пусть \(\lim\frac\alpha\beta=c\). \(c=0\): \(\alpha=o(\beta)\) — более высокого порядка малости; \(c\ne0\) конечно: один порядок; \(c=1\): эквивалентны, \(\alpha\sim\beta\); \(c=\infty\): \(\alpha\) — более низкого порядка.

Если \(\alpha\sim\alpha_1,\ \beta\sim\beta_1\), то \(\lim\frac\alpha\beta=\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}\) (если один из пределов существует).

Доказательство (вопрос РК №1)

\(\frac\alpha\beta=\frac{\alpha}{\alpha_1}\cdot\frac{\alpha_1}{\beta_1}\cdot\frac{\beta_1}{\beta}\), крайние множители \(\to1\). ∎

Сумма конечного числа б.м. разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка: например, \(x^2+3x^5\sim x^2\) при \(x\to0\).

Таблица эквивалентностей при \(\alpha\to0\)
\(\sin\alpha\sim\alpha\)	\(\operatorname{tg}\alpha\sim\alpha\)	\(\arcsin\alpha\sim\alpha\)	\(\operatorname{arctg}\alpha\sim\alpha\)
\(1-\cos\alpha\sim\frac{\alpha^2}2\)	\(\ln(1+\alpha)\sim\alpha\)	\(e^\alpha-1\sim\alpha\)	\(a^\alpha-1\sim\alpha\ln a\)
\((1+\alpha)^\mu-1\sim\mu\alpha\)		\(\sqrt[n]{1+\alpha}-1\sim\frac\alpha n\)

Заменять можно множители. В разности \(\operatorname{tg}x-\sin x\) замена «\(x-x=0\)» неверна: на самом деле \(\operatorname{tg}x-\sin x\sim\frac{x^3}2\).

\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{e^{2x}-1}\), \(\lim\limits_{x\to0}\frac{\arcsin2x}{\ln(1-x)}\).

\(\frac{3x}{2x}=\frac32\); \(\frac{2x}{-x}=-2\)

(Подготовка к РК №1, 10) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin7x-\sin3x}{e^{5x}-e^{2x}}\).

Числитель: \(2\cos5x\sin2x\sim2\cdot1\cdot2x=4x\).
Знаменатель: \(e^{2x}(e^{3x}-1)\sim3x\).

\(\frac43\)

\(\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\ln(1+\operatorname{tg}x)}{\sin3x}\).

Эквивалентности работают при аргументе → 0, поэтому \(t=x-\pi\to0\).
\(\operatorname{tg}x=\operatorname{tg}(\pi+t)=\operatorname{tg}t\sim t\) ⇒ \(\ln(1+\operatorname{tg}t)\sim t\).
\(\sin3x=\sin(3\pi+3t)=-\sin3t\sim-3t\).

\(-\frac13\)

\(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\)?

\(\frac12\)

\(\lim_{x\to0}(1+\sin x)^{1/x}\)?

\(e^{\lim\frac{\sin x}x}=e\)

Лекция 5. ОЛ-1, пп. 7.6–7.7, гл. 10; ОЛ-3, гл. II §§6, 7, 11.

Занятие 6. Пределы алгебраических функций, односторонние пределы.
Ауд.: ОЛ-4 №№ 1.272, 1.274, 1.277, 1.285, 1.289, 1.292, 1.298, 1.338, 1.340, 1.342, 1.343.
Дома: ОЛ-4 №№ 1.273, 1.275, 1.276, 1.281, 1.288, 1.290, 1.291, 1.297, 1.339, 1.341, 1.344, 1.345 (или ДЛ-4 №№ 181–270 по списку плана).

Главная часть — это «самое важное слагаемое»

Любую б.м. можно сравнить с эталоном \((x-a)^k\) (или \(\frac1{x^k}\) при \(x\to\infty\)): найти порядок \(k\) и коэффициент \(C\). Это задача 3 ДЗ №2 и задача 8 РК №1.

Непрерывность в точке — то, что предел равен значению. Арифметика и композиция непрерывных функций снова непрерывны.

На семинаре — замечательные пределы и \(1^\infty\).

\(\alpha\sim C(x-a)^k\): \(k\) — порядок, \(C(x-a)^k\) — главная часть · порядок \(\alpha\) относительно \(\beta\): \(\alpha\sim C\beta^k\) · непрерывность: \(\lim_{x\to a}f=f(a)\)

Б.м. \(\alpha\) при \(x\to a\) имеет порядок \(k\) относительно \(\beta\), если \(\lim\frac{\alpha}{\beta^k}=C\ne0\) (конечно). Тогда \(C\beta^k\) — главная часть \(\alpha\). Эталон: \(\beta=x-a\) при \(x\to a\), \(\beta=\frac1x\) при \(x\to\infty\).

Для б.б. аналогично: \(f\) имеет порядок роста \(k\) относительно \(g\), если \(\frac{f}{g^k}\to C\ne0\); эталон при \(x\to\infty\) — \(x\), при \(x\to a\) — \(\frac1{x-a}\).

Заменяем каждый множитель на эквивалентный степенной вид \(C(x-a)^k\); в сумме оставляем слагаемое низшего порядка (для б.м.) или высшего (для б.б.).

(Образец РК №1) Порядок малости \(\alpha=\sin\sqrt[3]{x+x^2}\) относительно \(\beta=2^{\sqrt x}-3^x\) при \(x\to+0\).

\(\alpha\sim\sqrt[3]{x+x^2}\sim x^{1/3}\).
\(\beta=(2^{\sqrt x}-1)-(3^x-1)=\sqrt x\ln2-x\ln3+o(\dots)\); слагаемые разных порядков ⇒ \(\beta\sim\ln2\cdot x^{1/2}\).
\(\alpha\sim C\beta^k\): \(x^{1/3}=(x^{1/2})^k\Rightarrow k=\frac23\).

порядок \(\frac23\) (\(\alpha\) — более низкого порядка малости, чем \(\beta\))

(19) \(\alpha=\frac{3x^4-\operatorname{arctg}x^3}{5\sin x+x^5}\), \(\beta=\sqrt[3]{\frac{x^4-3}{1+x^4}}-1\), \(x\to+\infty\).

\(\operatorname{arctg}\) и \(\sin\) ограничены ⇒ \(\alpha\sim\frac{3x^4}{x^5}=\frac3x\).
\(\frac{x^4-3}{1+x^4}=1-\frac4{1+x^4}\); \(\sqrt[3]{1+t}-1\sim\frac t3\) ⇒ \(\beta\sim-\frac{4}{3x^4}\).
\(\frac1x=\left(\frac1{x^4}\right)^{k}\Rightarrow k=\frac14\).

порядок \(\frac14\)

(20) Порядок роста \(f=\sqrt[3]{\frac{7/2+x}{1/2-x}}\) относительно \(g=\frac1{\sqrt[4]{\sin2\pi x}}\), \(x\to\frac12-0\).

\(t=\frac12-x\to+0\): \(f\sim\sqrt[3]{4}\,t^{-1/3}\).
\(\sin2\pi x=\sin(\pi-2\pi t)=\sin2\pi t\sim2\pi t\) ⇒ \(g\sim(2\pi t)^{-1/4}\).
\(t^{-1/3}=(t^{-1/4})^k\Rightarrow k=\frac43\).

порядок роста \(\frac43\)

\(f\) непрерывна в точке \(a\), если она определена в окрестности \(a\) и \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Эквивалентно: \(\Delta y=f(a+\Delta x)-f(a)\to0\) при \(\Delta x\to0\); или: \(\forall\varepsilon\ \exists\delta:\ |x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(a)|<\varepsilon\).

Сумма, произведение, частное (знаменатель ≠ 0) непрерывных в точке функций непрерывны. Если \(g\) непрерывна в \(a\), а \(f\) — в \(g(a)\), то \(f(g(x))\) непрерывна в \(a\).

Для непрерывной функции «знак предела можно внести под знак функции»: \(\lim f(g(x))=f(\lim g(x))\). Именно поэтому \(\lim e^{v\ln u}=e^{\lim v\ln u}\).

(7) \(\lim\limits_{x\to\pi/2}(\sin x)^{\operatorname{ctg}^22x}\).

\(1^\infty\). \(t=x-\frac\pi2\): \(\sin x=\cos t\), \(u-1=\cos t-1\sim-\frac{t^2}2\).
\(\operatorname{ctg}2x=\operatorname{ctg}(\pi+2t)=\operatorname{ctg}2t\sim\frac1{2t}\) ⇒ \(v\sim\frac1{4t^2}\).
\(v(u-1)\to-\frac18\).

\(e^{-1/8}\)

(8) \(\lim\limits_{x\to\pi}(4+3\cos3x)^{\frac{2}{(\pi-x)^2}}\).

\(4+3\cos3\pi=1\) — \(1^\infty\). \(t=x-\pi\): \(\cos3x=-\cos3t\).
\(u-1=3-3\cos3t\sim3\cdot\frac{9t^2}2\); \(v(u-1)=\frac2{t^2}\cdot\frac{27t^2}2=27\).

\(e^{27}\)

(9) \(\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+3}{x^2-5}\right)^{-x^2}\).

\(u-1=\frac8{x^2-5}\); \(-x^2\cdot\frac8{x^2-5}\to-8\): \(e^{-8}\)

(ДЗ №2, 2г) \(\lim\limits_{x\to4}\left(\frac{\sin x}{\sin4}\right)^{\frac1{x-4}}\).

\(u-1=\frac{\sin x-\sin4}{\sin4}=\frac{2\cos\frac{x+4}2\sin\frac{x-4}2}{\sin4}\sim\frac{\cos4\cdot(x-4)}{\sin4}\).
\(v(u-1)\to\operatorname{ctg}4\).

\(e^{\operatorname{ctg}4}\)

(ДЗ №2, 2д) \(\lim\limits_{x\to+0}\left(\operatorname{arctg}\frac{x^2-\sqrt3}{x^3-1}\right)^{\frac{x}{\sin2x}}\).

Основание: \(\frac{-\sqrt3}{-1}=\sqrt3\Rightarrow\operatorname{arctg}\sqrt3=\frac\pi3\ne1\) — неопределённости нет.
Показатель: \(\frac{x}{\sin2x}\to\frac12\).
Функция непрерывна — подставляем пределы.

\(\left(\frac\pi3\right)^{1/2}=\sqrt{\pi/3}\)

(12) \(\lim\limits_{x\to\pi/2}\dfrac{1-\operatorname{ctg}\frac x2}{\ln\operatorname{tg}\frac x2}\).

\(u=\operatorname{tg}\frac x2\to1\). \(1-\frac1u=\frac{u-1}u\), \(\ln u\sim u-1\).

\(\lim\frac{(u-1)/u}{u-1}=1\)

Порядок малости \(1-\cos x^2\) при \(x\to0\)?

\(\sim\frac{x^4}2\): порядок 4

Главная часть \(\sqrt{x^2+x}\) при \(x\to+\infty\)?

\(x\) (порядок роста 1)

Лекция 6. ОЛ-1, пп. 9.1–9.3; ОЛ-3, гл. II §9.

Занятие 7. Первый и второй замечательные пределы.
Ауд.: ОЛ-4 №№ 1.304, 1.306, 1.310, 1.312, 1.314, 1.320, 1.322, 1.324, 1.326.
Дома: ОЛ-4 №№ 1.303, 1.305, 1.307, 1.311, 1.313, 1.321, 1.323, 1.325, 1.327 (или ДЛ-4 №№ 216–263 по списку плана).

Разрыв классифицируют по односторонним пределам

Считаем \(f(a-0)\) и \(f(a+0)\). Оба конечны и равны — устранимый разрыв; оба конечны и разные — скачок; хотя бы один бесконечен или не существует — разрыв 2-го рода.

Подозрительные точки: где функция не определена (ноль знаменателя, граница области определения) и точки «склейки» кусочной функции. Это задача 4 ДЗ №2 и задача 7 РК №1.

На семинаре — сравнение функций: порядки малости и роста.

подозрительные точки → \(f(a\pm0)\) → устранимый / скачок / 2-й род → эскиз графика рядом с точкой

\(f\) непрерывна слева в \(a\), если \(f(a-0)=f(a)\); справа — если \(f(a+0)=f(a)\). Непрерывна на \([a;b]\) — если непрерывна во внутренних точках, справа в \(a\), слева в \(b\).

Основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения; значит, и все элементарные функции.

Непрерывность \(\sin x\) (вопрос РК №1)

\(|\sin x-\sin a|=2\left|\cos\frac{x+a}2\right|\left|\sin\frac{x-a}2\right|\le2\cdot1\cdot\frac{|x-a|}2=|x-a|\) (так как \(|\sin t|\le|t|\)). Берём \(\delta=\varepsilon\). ∎

Тип	Условие	Как выглядит
Устранимый	\(f(a-0)=f(a+0)\) конечны, но \(\ne f(a)\) или \(f(a)\) не определено	«выколотая точка»
Скачок (1-го рода)	\(f(a\pm0)\) конечны, не равны	ступенька, величина \(f(a+0)-f(a-0)\)
2-го рода	хотя бы один односторонний предел бесконечен или не существует	вертикальная асимптота, «осцилляция»

(Образец РК №1, 7) \(f=\dfrac{x-1}{x^2-5x+4}\).

\(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\): подозрительны \(x=1,\ x=4\). При \(x\ne1\): \(f=\frac1{x-4}\).
\(x=1\): \(f(1\pm0)=-\frac13\) — устранимый.
\(x=4\): \(f(4-0)=-\infty,\ f(4+0)=+\infty\) — 2-го рода.

(15) \(f=\dfrac{|x-2|}{x^2-5x+6}\).

\(=\frac{|x-2|}{(x-2)(x-3)}\). \(x=2\): слева \(\frac{-1}{x-3}\to1\), справа \(\frac1{x-3}\to-1\) — скачок (величина −2).
\(x=3\): \(\frac{1}{x-3}\to\pm\infty\) — 2-го рода.

(17) \(f=\dfrac1{1-3^{\frac1{x-2}}}\); (18) \(f=\dfrac{2x}{e^x-1}\).

(17) \(x\to2-0\): \(\frac1{x-2}\to-\infty\), \(3^{(\dots)}\to0\), \(f\to1\); \(x\to2+0\): \(3^{(\dots)}\to+\infty\), \(f\to0\). Скачок.
(18) \(x=0\): \(e^x-1\sim x\Rightarrow f\to2\). Устранимый.

(17) скачок в \(x=2\); (18) устранимый в \(x=0\)

Повторяем эталоны и эквивалентности. Полезные «вторые порядки», которые появляются при разностях:

\(\operatorname{tg}x-\sin x\sim\frac{x^3}2\) (\(=\operatorname{tg}x(1-\cos x)\)); \(\ \sqrt{1+x}-1\sim\frac x2\); \(\ x-\sin x\) и \(\operatorname{tg}x-x\) — третьего порядка (точные константы даст формула Тейлора, неделя 14).

Сравнить \(1-\cos x\) и \(x^2\), \(\operatorname{tg}x-\sin x\) и \(x^3\) при \(x\to0\).

\(\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12\) — один порядок; \(\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{x^3}\to\frac12\) — один порядок (3-й).

\(f(x)=\begin{cases}\operatorname{arcctg}e^{1/x},&x\le2\\\operatorname{tg}\frac\pi x,&x>2\end{cases}\). Найти точки разрыва, их характер, построить фрагменты графика.

Подозрительные: \(x=0\) (не определено \(\frac1x\)) и \(x=2\) (склейка). При \(x>2\): \(\frac\pi x\in(0;\frac\pi2)\) — тангенс определён, других разрывов нет.
\(x\to0-\): \(e^{1/x}\to0\), \(\operatorname{arcctg}0=\frac\pi2\). \(x\to0+\): \(e^{1/x}\to+\infty\), \(\operatorname{arcctg}\to0\). Скачок.
\(x=2\): \(f(2)=f(2-0)=\operatorname{arcctg}\sqrt e\approx0{,}545\); \(x\to2+0\): \(\frac\pi x\to\frac\pi2-0\), \(\operatorname{tg}\to+\infty\). Разрыв 2-го рода (непрерывна слева).

\(x=0\) — скачок (от \(\frac\pi2\) к 0); \(x=2\) — 2-го рода

(Экзамен) Тип разрыва \(y=5^{\frac1{x+1}}\) в \(x=-1\).

Слева \(\to0\), справа \(\to+\infty\) — 2-го рода.

(16) Разрывы \(\ln\left|\frac{x+1}{3-x}\right|\).

\(x=-1\) (\(\to-\infty\)) и \(x=3\) (\(\to+\infty\)) — оба 2-го рода.

Лекции 7–8. ОЛ-1, пп. 9.3–9.4; ОЛ-3, гл. II §§9, 10, гл. V §10.

Занятие 8. Сравнение функций.
Ауд.: ОЛ-4 №№ 1.349, 1.351, 1.353, 1.355, 1.357, 1.359(а,в), 1.360, 1.362.
Дома: ОЛ-4 №№ 1.350, 1.352, 1.354, 1.356, 1.358, 1.359(б), 1.363, 1.367, 1.361 (или ДЛ-4 №№ 292, 293, 300, 303).

На отрезке непрерывная функция «ведёт себя хорошо»

Она ограничена, достигает наибольшего и наименьшего значений и принимает все промежуточные. Из последнего следует существование корней уравнений.

Асимптоты описывают поведение графика «на краях»: вблизи точек разрыва 2-го рода и на бесконечности. Формулы для \(k\) и \(b\) — прямое следствие определения.

На семинаре — пределы и приближённые значения через эквивалентности. Срок сдачи ДЗ №2.

Вейерштрасс (ограниченность, max/min) · Больцано–Коши (промежуточные значения, корень) · асимптоты: \(k=\lim\frac fx,\ b=\lim(f-kx)\)

Непрерывная на \([a;b]\) функция ограничена на нём и достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Если \(f\) непрерывна на \([a;b]\) и \(f(a)f(b)<0\), то \(\exists c\in(a;b):\ f(c)=0\). Следствие: \(f\) принимает все значения между \(f(a)\) и \(f(b)\).

Если \(f\) непрерывна и строго возрастает на промежутке, то \(f^{-1}\) существует, непрерывна и строго возрастает.

Отрезок важен: \(\frac1x\) на \((0;1]\) непрерывна, но не ограничена; \(x\) на \((0;1)\) не достигает ни max, ни min.

Доказать, что \(x^3+x-1=0\) имеет корень на \((0;1)\), и найти его с точностью 0,1.

\(f(0)=-1<0,\ f(1)=1>0\), \(f\) непрерывна ⇒ корень есть (и единственный: \(f\) возрастает).
\(f(0{,}5)=-0{,}375\) ⇒ \((0{,}5;1)\); \(f(0{,}75)\approx0{,}17\) ⇒ \((0{,}5;0{,}75)\).
\(f(0{,}625)\approx-0{,}13\) ⇒ \((0{,}625;0{,}75)\); \(f(0{,}6875)\approx0{,}01\) ⇒ \((0{,}625;0{,}6875)\).

\(x\approx0{,}68\) (точно \(0{,}6823\ldots\))

Вертикальная \(x=a\): хотя бы один из \(f(a\pm0)\) бесконечен.
Наклонная \(y=kx+b\) при \(x\to+\infty\) (отдельно — при \(x\to-\infty\)): \(\lim(f(x)-kx-b)=0\). Горизонтальная — частный случай \(k=0\).

\[k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big).\]

Вывод (вопрос РК №2)

Если \(f-kx-b\to0\), то \(\frac fx-k-\frac bx\to0\), откуда \(k=\lim\frac fx\); затем \(b=\lim(f-kx)\). Обратно, если оба предела существуют и конечны, то \(f-kx-b\to0\). ∎

\(y=\dfrac{x^2+1}{x-1}\).

Вертикальная \(x=1\).
\(k=\lim\frac{x^2+1}{x^2-x}=1\); \(b=\lim\left(\frac{x^2+1}{x-1}-x\right)=\lim\frac{x+1}{x-1}=1\) (для обоих направлений).

\(x=1\); \(y=x+1\)

\(y=xe^{1/x}\).

\(x\to0+\): \(e^{1/x}\to\infty\) быстрее, чем \(x\to0\) (\(\frac{e^t}{t}\to\infty\)) ⇒ \(+\infty\): вертикальная асимптота справа. \(x\to0-\): \(\to0\).
\(k=\lim e^{1/x}=1\); \(b=\lim x(e^{1/x}-1)=\lim x\cdot\frac1x=1\).

\(x=0\) (только справа); \(y=x+1\)

(11) \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt[4]x-1}{x+5\sqrt x-6}\).

\(t=x-1\): \(\sqrt[4]{1+t}-1\sim\frac t4\); знаменатель \(t+5(\sqrt{1+t}-1)\sim t+\frac{5t}2=\frac{7t}2\).

\(\frac{1/4}{7/2}=\frac1{14}\)

(13) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x-2x^2)+\ln(1-3x+3x^2)}{x^2}\).

Сумма логарифмов = логарифм произведения: \((1+3x-2x^2)(1-3x+3x^2)=1-8x^2+15x^3-6x^4\).
\(\ln(1-8x^2+\dots)\sim-8x^2\).

\(-8\) (по отдельности заменять каждый логарифм на «свой аргумент» было бы ошибкой: аргументы \(\pm3x\) сократились бы)

(14) \(\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{3\cos\frac{5x}2-\operatorname{ctg}\frac{3x}2}{x-\pi}\).

\(t=x-\pi\): \(\cos(\frac{5\pi}2+\frac{5t}2)=-\sin\frac{5t}2\sim-\frac{5t}2\); \(\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}2+\frac{3t}2)=-\operatorname{tg}\frac{3t}2\sim-\frac{3t}2\).
Числитель \(\sim-\frac{15t}2+\frac{3t}2=-6t\).

\(-6\)

Вычислить приближённо \(\sqrt[3]{8{,}12}\) и \(\ln1{,}05\).

\(2\sqrt[3]{1+0{,}015}\approx2(1+0{,}005)=2{,}01\); \(\ln1{,}05\approx0{,}05\)

\(f=\dfrac{x^3+x\sin x}{x+\sqrt[3]x},\ g=\dfrac{x^2+x+1}{x+2}\), \(x\to+\infty\). Показать, что это б.б., найти главные части \(Cx^\alpha\), порядки, сравнить.

\(x\sin x\) — порядка не выше \(x\), т.е. \(\ll x^3\); \(\sqrt[3]x\ll x\). Значит \(f\sim\frac{x^3}{x}=x^2\to\infty\).
\(g\sim\frac{x^2}{x}=x\to\infty\).
\(\frac fg\sim x\to\infty\) ⇒ \(f\) — б.б. более высокого порядка роста; \(f\sim g^2\) (порядок 2 относительно \(g\)).

\(f\sim x^2\) (порядок 2), \(g\sim x\) (порядок 1), \(f\) растёт быстрее

Асимптоты \(y=\operatorname{arctg}x\)?

\(y=\frac\pi2\) при \(x\to+\infty\), \(y=-\frac\pi2\) при \(x\to-\infty\).

Обязательно ли непрерывная на \((0;1)\) функция ограничена?

Нет: \(\frac1x\).

Лекции 7–8. ОЛ-1, пп. 9.3–9.4; ОЛ-3, гл. V §10 (асимптоты).

Занятие 9. Пределы и приближённые значения с помощью эквивалентных б.м. и б.б.
Ауд.: ОЛ-4 №№ 1.308, 1.330, 1.332, 1.318, 1.328, 1.335, 1.337, 1.366, 1.368, 1.370, 1.372, 1.374, 1.376.
Дома: ОЛ-4 №№ 1.313, 1.315, 1.316, 1.329, 1.331, 1.333, 1.369, 1.371, 1.373, 1.375, 1.377.

Срок сдачи ДЗ №2 — 8-я неделя. МП-9 (Дуров и др.) «Пределы и непрерывность функций».

Производная — предел отношения приращений

\(f'(a)=\lim\frac{\Delta y}{\Delta x}\): мгновенная скорость (физический смысл) и угловой коэффициент касательной (геометрический).

Отсюда уравнения касательной и нормали — это будет в КР и на экзамене. Если пределы слева и справа разные — производной нет, есть только односторонние (излом).

На этой неделе РК №1 — см. «Подготовка к РК». Семинар — непрерывность и разрывы (повторение).

\(f'(a)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\) · касательная \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\) · нормаль \(y=f(a)-\frac{1}{f'(a)}(x-a)\)

\(f'(a)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\), если предел существует (конечный).

Физический смысл: если \(s(t)\) — путь, то \(s'(t)\) — мгновенная скорость.
Геометрический смысл: \(f'(a)=\operatorname{tg}\alpha\) — угловой коэффициент касательной (предельного положения секущей).

\[\text{касательная: }y-f(a)=f'(a)(x-a);\qquad\text{нормаль: }y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a).\]

\(f'_\pm(a)\) — односторонние пределы того же отношения. Если \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\to\pm\infty\) — бесконечная производная: касательная вертикальна, \(x=a\).

Найти \((x^2)'\) по определению; касательную и нормаль к \(y=x^2\) в точке \(x=1\).

\(\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=2x+\Delta x\to2x\).
\(f(1)=1,\ f'(1)=2\): \(y=1+2(x-1)=2x-1\); нормаль \(y=1-\frac12(x-1)\).

\(2x\); \(y=2x-1\); \(x+2y-3=0\)

\(f=|x|\) и \(f=\sqrt[3]x\) в точке 0.

\(\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=\pm1\): \(f'_-(0)=-1,\ f'_+(0)=1\) — производной нет (угол).
\(\frac{\sqrt[3]{\Delta x}}{\Delta x}=\Delta x^{-2/3}\to+\infty\) — бесконечная производная, вертикальная касательная \(x=0\).

При каком \(a\) функция \(f=\begin{cases}ax+1,&x\le1\\x^2+2,&x>1\end{cases}\) непрерывна? Будет ли она дифференцируема в \(x=1\)?

\(f(1-0)=f(1)=a+1\), \(f(1+0)=3\) ⇒ \(a=2\).
Односторонние производные: слева \(a=2\), справа \((x^2+2)'=2x=2\) ⇒ совпадают.

\(a=2\); да, \(f'(1)=2\)

Найти касательную к \(y=x^2\), параллельную прямой \(y=4x-7\).

Параллельность: \(f'(x_0)=4\Rightarrow2x_0=4,\ x_0=2\).
\(y=4+4(x-2)\).

\(y=4x-4\)

Найти \((\sqrt x)'\) по определению.

\(\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt x}{\Delta x}=\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x}\to\frac1{2\sqrt x}\)

Может ли непрерывная функция не иметь производной?

Да: \(|x|\) в нуле.

Лекции 9–10. ОЛ-2 (Иванова), гл. 1–2; ОЛ-3, гл. III §§1–15, 19.

Занятие 10. Непрерывность. Точки разрыва.
Ауд.: ОЛ-4 №№ 1.381, 1.384, 1.386, 1.388, 1.390, 1.392, 1.394, 1.395, 1.397, 1.399, 1.401, 1.402.
Дома: ОЛ-4 №№ 1.382, 1.385, 1.387, 1.391, 1.393, 1.396, 1.398, 1.400, 1.403, 1.389.

Контроль по модулю №1 (РК №1) — 9-я неделя. ДЗ №3 выдаётся на 9-й неделе.

Дифференцируемая функция вблизи точки почти линейна

\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\): приращение функции — линейная часть плюс малая высшего порядка. Это равносильно существованию конечной производной, и \(A=f'(a)\).

Правила (сумма, произведение, частное, сложная функция) плюс таблица производных — и любая элементарная функция дифференцируется механически. Это основа КР «Техника дифференцирования».

\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\iff\exists f'(a)=A\) ⇒ непрерывность · \((uv)'=u'v+uv'\) · \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) · \((f(g))'=f'(g)\,g'\)

\(f\) дифференцируема в точке \(a\), если \(\Delta y=A\Delta x+\alpha(\Delta x)\Delta x\), где \(A\) — число, \(\alpha\to0\) при \(\Delta x\to0\).

\(f\) дифференцируема в \(a\) \(\iff\) существует конечная \(f'(a)\); при этом \(A=f'(a)\).

Доказательство (вопрос РК №2 и образца)

⇒ Делим на \(\Delta x\): \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\alpha(\Delta x)\to A\). Значит \(f'(a)=A\).

⇐ Если \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(a)\), то по теореме о связи функции, предела и б.м. \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(a)+\alpha\), \(\alpha\to0\). Умножаем на \(\Delta x\): \(\Delta y=f'(a)\Delta x+\alpha\Delta x\). ∎

Дифференцируемая в точке функция непрерывна в ней: \(\Delta y=(A+\alpha)\Delta x\to0\). Обратное неверно (\(|x|\)).

\[(u\pm v)'=u'\pm v',\quad(uv)'=u'v+uv',\quad\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\quad\big(f(g(x))\big)'=f'(g)\cdot g'(x),\quad(f^{-1})'(y)=\frac1{f'(x)}.\]

Вывод для произведения (вопрос РК №2)

\(\Delta(uv)=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv=\Delta u\,v+u\,\Delta v+\Delta u\Delta v\). Делим на \(\Delta x\) и переходим к пределу: \(\Delta u\to0\) (непрерывность), значит последнее слагаемое \(\to u'\cdot0\). ∎

Вывод для частного (вопрос РК №2)

\(\Delta\frac uv=\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v}-\frac uv=\frac{\Delta u\,v-u\,\Delta v}{v(v+\Delta v)}\). Делим на \(\Delta x\), \(\Delta v\to0\): \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\). ∎

\((x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}\)	\((a^x)'=a^x\ln a\)	\((e^x)'=e^x\)
\((\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}\)	\((\ln x)'=\frac1x\)	\((\sin x)'=\cos x\)
\((\cos x)'=-\sin x\)	\((\operatorname{tg}x)'=\frac1{\cos^2x}\)	\((\operatorname{ctg}x)'=-\frac1{\sin^2x}\)
\((\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\)	\((\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\)	\((\operatorname{arctg}x)'=\frac1{1+x^2}\)
\((\operatorname{arcctg}x)'=-\frac1{1+x^2}\)	\((\operatorname{sh}x)'=\operatorname{ch}x\)	\((\operatorname{ch}x)'=\operatorname{sh}x\)

Пример: \((\arcsin x)'\) через обратную функцию

\(y=\arcsin x\iff x=\sin y\), \(y\in[-\frac\pi2;\frac\pi2]\). \(y'=\frac1{(\sin y)'}=\frac1{\cos y}=\frac1{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\) (\(\cos y\ge0\) на этом промежутке).

\(y=x^3-4\sqrt x+\frac5{x^2}\).

\(3x^2-\frac2{\sqrt x}-\frac{10}{x^3}\)

\(y=x^2\sin x\); \(y=\frac{x+1}{x-1}\).

\(2x\sin x+x^2\cos x\); \(\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=-\frac2{(x-1)^2}\)

\(y=\sin^3(2x+1)\).

Внешняя \(u^3\), средняя \(\sin v\), внутренняя \(2x+1\).
\(3\sin^2(2x+1)\cdot\cos(2x+1)\cdot2\).

\(6\sin^2(2x+1)\cos(2x+1)\)

\(y=\ln(x^2+1)\); \(y=e^{-x^2}\); \(y=\operatorname{arctg}\sqrt x\).

\(\frac{2x}{x^2+1}\); \(-2xe^{-x^2}\); \(\frac{1}{1+x}\cdot\frac1{2\sqrt x}\)

\(y=\cos^4\left(\sqrt[3]{2-x^2}\right)\).

\(u=\sqrt[3]{2-x^2}=(2-x^2)^{1/3}\), \(u'=\frac13(2-x^2)^{-2/3}(-2x)\).
\(y'=4\cos^3u\cdot(-\sin u)\cdot u'\).

\(y'=\dfrac{8x\cos^3u\,\sin u}{3\sqrt[3]{(2-x^2)^2}},\ u=\sqrt[3]{2-x^2}\)

\((\operatorname{tg}^2x)'\)?

\(\frac{2\operatorname{tg}x}{\cos^2x}\)

\((\log_3(5x))'\)?

\(\frac{1}{x\ln3}\) (множитель 5 «съедается»)

Лекции 9–10. ОЛ-2, гл. 1–2; ОЛ-3, гл. III.

Занятие 12. Правила дифференцирования.
Ауд.: ОЛ-4 №№ 5.6, 5.11, 5.21, 5.23, 5.25, 5.27, 5.29, 5.31, 5.35, 5.45, 5.49, 5.37, 5.39, 5.48, 5.51, 5.53, 5.55, 5.57, 5.41.
Дома: ОЛ-4 №№ 5.3, 5.7, 5.10, 5.12, 5.22, 5.26, 5.28, 5.32, 5.34, 5.46, 5.50, 5.38, 5.40, 5.44, 5.47, 5.52, 5.54, 5.56, 5.42.

Три приёма, которые точно будут в КР

Степенно-показательная \(u^v\) — через логарифм. Параметрическая — делением \(y'_t\) на \(x'_t\). Неявная — дифференцируем уравнение, помня, что \(y=y(x)\).

Задачи 5, 7, 8 образца КР — ровно эти три приёма (и вторые производные). Высшие производные считаются повторным дифференцированием; для параметрической функции — по своей формуле.

\((u^v)'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}u\right)\) · \(y'_x=\frac{y'_t}{x'_t},\ y''_{xx}=\frac{(y'_x)'_t}{x'_t}\) · неявная: \(\frac{d}{dx}F(x,y(x))=0\)

Для \(y=u(x)^{v(x)}\): \(\ln y=v\ln u\). Дифференцируем: \(\frac{y'}y=v'\ln u+v\frac{u'}u\).

\[(u^v)'=u^v\left(v'\ln u+\frac{vu'}{u}\right).\]

Для длинных произведений/частных: \(y=\frac{(x+1)^3\sqrt{x-2}}{(x+3)^5}\Rightarrow\frac{y'}y=\frac3{x+1}+\frac1{2(x-2)}-\frac5{x+3}\).

(КР, 5) \(y=(1+\operatorname{ctg}4x)^{\ln x}\).

\(\ln y=\ln x\cdot\ln(1+\operatorname{ctg}4x)\).
\(\frac{y'}{y}=\frac1x\ln(1+\operatorname{ctg}4x)+\ln x\cdot\frac{-4/\sin^24x}{1+\operatorname{ctg}4x}\).

\(y'=(1+\operatorname{ctg}4x)^{\ln x}\left(\frac{\ln(1+\operatorname{ctg}4x)}{x}-\frac{4\ln x}{\sin^24x\,(1+\operatorname{ctg}4x)}\right)\)

(7) \(y=\left(\sqrt{\operatorname{tg}3x}\right)^{\sin^2x}\).

\(\ln y=\frac12\sin^2x\ln\operatorname{tg}3x\).
\(\frac{y'}y=\frac12\sin2x\ln\operatorname{tg}3x+\frac12\sin^2x\cdot\frac{3}{\cos^23x\operatorname{tg}3x}\); последнее \(=\frac{3\sin^2x}{2\sin3x\cos3x}=\frac{3\sin^2x}{\sin6x}\).

\(y'=y\left(\frac12\sin2x\ln\operatorname{tg}3x+\frac{3\sin^2x}{\sin6x}\right)\)

\[x=x(t),\ y=y(t):\qquad y'_x=\frac{y'_t}{x'_t},\qquad y''_{xx}=\frac{(y'_x)'_t}{x'_t}.\]

\(y''_{xx}\ne\frac{y''_{tt}}{x''_{tt}}\)! Вторая производная — производная от \(y'_x\) по \(x\), т.е. снова делим на \(x'_t\).

Неявная функция \(F(x,y)=0\): дифференцируем обе части по \(x\), считая \(y=y(x)\) (по правилу сложной функции \((y^2)'=2yy'\)), затем выражаем \(y'\). Для \(y''\) дифференцируем ещё раз и подставляем найденное \(y'\).

\((\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{\pi n}2)\); \((e^{ax})^{(n)}=a^ne^{ax}\); \((\ln(1+x))^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}\). Лейбниц: \((uv)^{(n)}=\sum_kC_n^ku^{(k)}v^{(n-k)}\).

(КР, 7) \(x=\log_2(1+t^3),\ y=t^4\): найти \(y''_{xx}\).

\(x'_t=\frac{3t^2}{(1+t^3)\ln2},\ y'_t=4t^3\) ⇒ \(y'_x=\frac{4\ln2}{3}t(1+t^3)=\frac{4\ln2}3(t+t^4)\).
\((y'_x)'_t=\frac{4\ln2}3(1+4t^3)\); делим на \(x'_t\).

\(y''_{xx}=\dfrac{4\ln^22}{9}\cdot\dfrac{(1+4t^3)(1+t^3)}{t^2}\)

(9) \(x=3\cos^23t,\ y=2\sin^33t\): \(y''_{xx}\).

\(x'_t=-18\cos3t\sin3t,\ y'_t=18\sin^23t\cos3t\) ⇒ \(y'_x=-\sin3t\).
\(y''_{xx}=\frac{-3\cos3t}{-18\cos3t\sin3t}\).

\(\frac1{6\sin3t}\)

(КР, 8) \(x^2+y^2+6xy-4x+2y=0\): \(y'\) и \(y''\) в \(M(0;0)\).

\(2x+2yy'+6y+6xy'-4+2y'=0\); в \(M\): \(2y'-4=0\Rightarrow y'=2\).
Ещё раз: \(2+2y'^2+2yy''+6y'+6y'+6xy''+2y''=0\); в \(M\): \(2+8+24+2y''=0\).

\(y'(0)=2,\ y''(0)=-17\)

(10) \(4x^2+3xy-y^2=6\): \(y',y''\) в \(M(1;2)\).

\(8x+3y+3xy'-2yy'=0\): \(8+6+3y'-4y'=0\Rightarrow y'=14\).
\(8+6y'+3xy''-2y'^2-2yy''=0\): \(8+84+3y''-392-4y''=0\).

\(y'=14,\ y''=-300\)

\((xe^x)^{(n)}\) и \((\ln(1+x))^{(n)}\).

\((xe^x)'=(x+1)e^x,\ ''=(x+2)e^x\), … по индукции \((x+n)e^x\) (или по Лейбницу).
\(\frac1{1+x},-\frac1{(1+x)^2},\frac2{(1+x)^3},\dots\)

\((x+n)e^x\); \(\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}\)

\(x=4\cos t,\ y=8\sin t\); касательная и нормаль в \(M_0(2\sqrt3;4)\).

\(\cos t=\frac{\sqrt3}2,\ \sin t=\frac12\Rightarrow t_0=\frac\pi6\).
\(y'_x=\frac{8\cos t}{-4\sin t}=-2\operatorname{ctg}t=-2\sqrt3\).
Касательная: \(y-4=-2\sqrt3(x-2\sqrt3)\); нормаль: \(y-4=\frac1{2\sqrt3}(x-2\sqrt3)\).

\(y=-2\sqrt3x+16\); \(y=\frac{x}{2\sqrt3}+3\)

\((x^x)'\)?

\(x^x(\ln x+1)\)

\(x^2+y^2=25\): \(y'\) в \((3;4)\)?

\(2x+2yy'=0\Rightarrow y'=-\frac34\)

Лекция 11. ОЛ-2, гл. 2, пп. 4.1–4.4; ОЛ-3, гл. III §§18, 19, 22, 25.

Занятие 13. Сложная и параметрическая функции. Ауд.: ОЛ-4 №№ 5.59, 5.61, 5.73, 5.63, 5.66, 5.67, 5.75, 5.76, 5.93, 5.95, 5.101, 5.105, 5.108, 5.168, 5.171, 5.173, 5.175, 5.177, 5.179, 5.180. Дома: 5.58, 5.60, 5.62, 5.70, 5.64, 5.65, 5.68, 5.71, 5.74, 5.94, 5.100, 5.102, 5.106, 5.169, 5.172, 5.176, 5.178, 5.182, 5.196.

Занятие 14. Логарифмическая производная, неявные функции, высшие порядки. Ауд.: ОЛ-4 №№ 5.81–5.92 (нечёт.), 5.111, 5.144–5.156 (чёт.), 5.186, 5.188, 5.201, 5.202, 5.224, 5.225, 5.230, 5.232, 5.233. Дома: соседние номера по списку плана.

Дифференциал — линейная часть приращения

\(dy=f'(x)\,dx\) — приращение ординаты касательной. При малом \(\Delta x\) \(\Delta y\approx dy\) — это и есть приближённые вычисления.

Форма первого дифференциала не зависит от того, независима ли переменная (инвариантность) — поэтому дифференциалы удобно брать «по цепочке».

На этой неделе КР «Техника дифференцирования» — см. «Подготовка к РК → КР».

\(dy=f'dx\) · \(f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x\) · касательная ∥ прямой ⇔ равные \(k\), ⟂ ⇔ \(k_1k_2=-1\)

Дифференциал — главная линейная часть приращения: \(dy=f'(x)\Delta x=f'(x)\,dx\).

Геометрически \(dy\) — приращение ординаты касательной, а \(\Delta y\) — приращение ординаты графика; разница \(o(\Delta x)\).

Если \(y=f(u)\), \(u=g(x)\), то \(dy=f'(u)\,du\) — та же форма, что для независимой \(u\).

Доказательство (вопрос РК №2)

\(dy=(f(g(x)))'dx=f'(u)g'(x)dx=f'(u)\,du\), так как \(du=g'(x)dx\). ∎

Высшие: \(d^2y=f''(x)dx^2\) — только для независимой \(x\); инвариантность у второго дифференциала уже не сохраняется.

\[f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x.\]

\(\sqrt{4{,}02}\), \(\sin31^\circ\), \(\operatorname{arctg}1{,}05\), \(1{,}02^5\).

\(\sqrt{4+0{,}02}\approx2+\frac{0{,}02}{2\cdot2}=2{,}005\).
\(\sin(30^\circ+1^\circ)\approx\frac12+\frac{\sqrt3}2\cdot\frac\pi{180}\approx0{,}5151\) (угол — в радианах!).
\(\operatorname{arctg}(1+0{,}05)\approx\frac\pi4+\frac{0{,}05}{2}\approx0{,}8104\).
\((1+0{,}02)^5\approx1+5\cdot0{,}02=1{,}1\).

2,005; 0,5151; 0,8104; 1,1

Касательная ∥ прямой \(y=kx+b\): ищем \(x_0\) из \(f'(x_0)=k\).
Касательная ⟂ прямой: \(f'(x_0)=-\frac1k\).
Неявная кривая: \(y'\) находим дифференцированием уравнения в данной точке.
Параметрическая: сначала \(t_0\) по точке, затем \(y'_x(t_0)\).

(11) Касательная к \(y=\ln2x\), параллельная \(3y-x=2\).

\(k=\frac13\); \(y'=\frac1x=\frac13\Rightarrow x_0=3,\ y_0=\ln6\).

\(y=\ln6+\frac13(x-3)\)

(12) Касательные к \(y=\operatorname{arcctg}3x\), перпендикулярные \(5x-12y=1\).

Наклон прямой \(\frac5{12}\) ⇒ нужен \(-\frac{12}5\).
\(y'=-\frac3{1+9x^2}=-\frac{12}5\Rightarrow1+9x^2=\frac54\Rightarrow x_0=\pm\frac16\).
\(y(\frac16)=\operatorname{arcctg}\frac12\), \(y(-\frac16)=\pi-\operatorname{arcctg}\frac12\).

\(y=\operatorname{arcctg}\frac12-\frac{12}5\left(x-\frac16\right)\) и \(y=\pi-\operatorname{arcctg}\frac12-\frac{12}5\left(x+\frac16\right)\)

(13) \(\frac{x^2}{16}-y^2=3\) в \(M_0(8;1)\).

\(\frac x8-2yy'=0\Rightarrow y'=\frac{x}{16y}=\frac12\).

касательная \(y=\frac x2-3\); нормаль \(y=-2x+17\)

(14) \(x=4\sin t,\ y=3\cos t\) в \(M_0\left(2;\frac{3\sqrt3}2\right)\).

\(t_0=\frac\pi6\); \(y'_x=\frac{-3\sin t}{4\cos t}=-\frac34\operatorname{tg}t=-\frac{\sqrt3}{4}\).

\(y-\frac{3\sqrt3}2=-\frac{\sqrt3}4(x-2)\); нормаль \(y-\frac{3\sqrt3}2=\frac4{\sqrt3}(x-2)\)

(Экзамен, 9) \(y=\log_24x\), \(x_0=1\).

\(y_0=2,\ y'=\frac1{x\ln2}\): \(y=2+\frac{x-1}{\ln2}\); нормаль \(y=2-\ln2\,(x-1)\)

\(y=e^{\sin x}\). Найти \(dy\) при \(x=0,\ dx=0{,}1\) и оценить \(e^{\sin0{,}1}\).

\(dy=e^{\sin x}\cos x\,dx=1\cdot1\cdot0{,}1\).
\(y(0{,}1)\approx y(0)+dy=1{,}1\) (точно 1,1048).

\(dy=0{,}1\); \(\approx1{,}1\)

\(d(\operatorname{arctg}x^2)\)?

\(\frac{2x\,dx}{1+x^4}\)

Чему равен \(d^2y\) для \(y=x^3\)?

\(6x\,dx^2\)

Лекция 12. ОЛ-2, гл. 3, п. 4.5; ОЛ-3, гл. III §§20, 21, 23.

Занятие 15. Геометрический смысл производной и дифференциала, приближённые вычисления.
Ауд.: ОЛ-4 №№ 5.235, 5.240, 5.241, 5.243, 5.246, 5.256, 5.277, 5.281(б), 5.285, 5.287, 5.288, 5.290, 5.292, 5.294, 5.297, 5.298(а,в), 5.300.
Дома: ОЛ-4 №№ 5.236–5.250 (по списку), 5.255(а), 5.286, 5.289, 5.291, 5.295, 5.296, 5.298(б), 5.299.

Занятие 16 — КР «Техника дифференцирования» (12-я неделя).

Цепочка теорем, каждая опирается на предыдущую

Ферма → Ролль → Лагранж → Коши → Лопиталь. Доказательства короткие, и они — частые вопросы экзамена (в типовом билете — теорема Лагранжа).

Правило Лопиталя раскрывает \(\frac00\) и \(\frac\infty\infty\) через производные; остальные неопределённости (\(0\cdot\infty,\ \infty-\infty,\ 0^0,\ \infty^0,\ 1^\infty\)) к ним сводятся.

Ферма: в экстремуме \(f'=0\) → Ролль: \(f(a)=f(b)\Rightarrow\exists f'(c)=0\) → Лагранж: \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\) → Коши → Лопиталь

Если \(f\) дифференцируема в точке \(c\) и принимает в ней наибольшее (наименьшее) значение в некоторой окрестности, то \(f'(c)=0\).

Доказательство

Пусть \(c\) — точка максимума. При \(\Delta x>0\): \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\le0\Rightarrow f'_+(c)\le0\); при \(\Delta x<0\): \(\ge0\Rightarrow f'_-(c)\ge0\). Производная существует ⇒ \(f'(c)=0\). ∎

\(f\) непрерывна на \([a;b]\), дифференцируема на \((a;b)\), \(f(a)=f(b)\) ⇒ \(\exists c\in(a;b):\ f'(c)=0\). Геометрически: есть горизонтальная касательная.

Доказательство

По Вейерштрассу \(f\) достигает на \([a;b]\) max \(M\) и min \(m\). Если \(M=m\), \(f\) постоянна и \(f'\equiv0\). Иначе одно из них достигается во внутренней точке \(c\) (на концах значения равны) — по Ферма \(f'(c)=0\). ∎

\(f\) непрерывна на \([a;b]\), дифференцируема на \((a;b)\) ⇒ \(\exists c:\ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\). Геометрически: есть касательная, параллельная хорде.

Доказательство (типовой билет экзамена)

Рассмотрим \(F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\). \(F(a)=F(b)=0\), \(F\) удовлетворяет условиям Ролля ⇒ \(F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\). ∎

\(f,g\) непрерывны на \([a;b]\), дифференцируемы на \((a;b)\), \(g'\ne0\) ⇒ \(\exists c:\ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\).

Доказательство

\(g(b)\ne g(a)\) (иначе по Ролю \(g'\) обратилась бы в 0). \(F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))\), \(F(a)=F(b)=0\), Ролль. ∎

Найти \(c\) из теоремы Лагранжа для \(f=x^3\) на \([0;2]\).

\(\frac{8-0}{2}=4=3c^2\Rightarrow c=\frac2{\sqrt3}\)

Доказать: \(|\sin a-\sin b|\le|a-b|\); \(\ln(1+x)<x\) при \(x>0\).

Лагранж: \(\sin a-\sin b=\cos c\,(a-b)\), \(|\cos c|\le1\).
\(\ln(1+x)-\ln1=\frac{1}{1+c}x<x\), так как \(c>0\).

Если \(f,g\to0\) (или \(\to\infty\)) при \(x\to a\), они дифференцируемы в \(\mathring U(a)\), \(g'\ne0\) и существует \(\lim\frac{f'}{g'}\), то \(\lim\frac fg=\lim\frac{f'}{g'}\).

Доказательство для \(\frac00\) (вопрос экзамена)

Доопределим \(f(a)=g(a)=0\). По Коши на \([a;x]\): \(\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\), \(c\) между \(a\) и \(x\). При \(x\to a\) \(c\to a\), и правая часть \(\to\lim\frac{f'}{g'}\). ∎

\(0\cdot\infty\): \(fg=\frac{f}{1/g}\). \(\infty-\infty\): общий знаменатель. \(0^0,\infty^0,1^\infty\): \(u^v=e^{v\ln u}\) и считаем \(\lim v\ln u\).

\(\frac{\ln x}{x^\alpha}\to0,\quad\frac{x^n}{a^x}\to0\ (a>1)\): логарифм ≪ степень ≪ показательная.

Если \(\lim\frac{f'}{g'}\) не существует, это ничего не говорит о \(\lim\frac fg\): \(\frac{x+\sin x}x\to1\), а \(\frac{1+\cos x}{1}\) предела не имеет.

\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin x}\).

\(\frac00\): \(\frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos x}\) — снова \(\frac00\).
\(\frac{e^x-e^{-x}}{\sin x}\) — снова; \(\frac{e^x+e^{-x}}{\cos x}\to2\).

\(2\)

\(\lim\limits_{x\to+0}x\ln x\), \(\lim\limits_{x\to+0}x^x\).

\(\frac{\ln x}{1/x}\to\frac{1/x}{-1/x^2}=-x\to0\).
\(x^x=e^{x\ln x}\to e^0\).

\(0\); \(1\)

\(\lim\limits_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{e^x-1}\right)\).

\(\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}\); знаменатель \(\sim x^2\).
\(\frac{e^x-1}{2x}\to\frac12\) (Лопиталь).

\(\frac12\)

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^5}{e^x}\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}\).

0 (Лопиталь 5 раз); 0 (\(\frac{1/x}{1/(2\sqrt x)}=\frac2{\sqrt x}\))

\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\operatorname{tg}x-x}{x-\sin x}\).

Лопиталь: \(\frac{\frac1{\cos^2x}-1}{1-\cos x}=\frac{\operatorname{tg}^2x}{1-\cos x}\).
Эквивалентности: \(\frac{x^2}{x^2/2}=2\).

\(2\)

\(\lim_{x\to0}\left(\operatorname{ctg}x-\frac1x\right)\)?

\(0\)

Выполняется ли теорема Ролля для \(|x|\) на \([-1;1]\)?

Нет: \(|x|\) не дифференцируема в 0, и \(f'(c)=0\) нигде нет.

Лекция 13. ОЛ-2, гл. 5, 6; ОЛ-3, гл. IV §§1–5.

Занятие 17. Правило Бернулли–Лопиталя.
Ауд.: ОЛ-4 №№ 5.329, 5.330, 5.332, 5.334, 5.336, 5.340, 5.342, 5.344, 5.347, 5.348, 5.352, 5.354, 5.353, 5.358, 5.360, 5.363, 5.365, 5.366, 5.369, 5.371, 5.373, 5.378.
Дома: ОЛ-4 №№ 5.331–5.376 (по списку плана).

Любую гладкую функцию вблизи точки можно заменить многочленом

Многочлен Тейлора совпадает с функцией в точке вместе с \(n\) производными. Остаток в форме Пеано (\(o((x-x_0)^n)\)) нужен для пределов, в форме Лагранжа — для оценки погрешности.

Пять стандартных разложений Маклорена нужно знать наизусть: из них подстановкой получается почти всё (задача 4 РК №2).

\(f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n\) · \(R_n=o((x-x_0)^n)\) (Пеано) · \(R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\) (Лагранж)

Если \(f\) \(n\) раз дифференцируема в точке \(x_0\), то \(f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)\) при \(x\to x_0\).

Если \(f\) \((n+1)\) раз дифференцируема в окрестности \(x_0\), то \(R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\), \(\xi\) между \(x_0\) и \(x\).

Идея вывода с остатком Пеано (вопрос экзамена)

Пусть \(R(x)=f(x)-P_n(x)\). По построению \(R(x_0)=R'(x_0)=\dots=R^{(n)}(x_0)=0\). Применяя Лопиталя \(n-1\) раз к \(\frac{R(x)}{(x-x_0)^n}\), получаем \(\frac{R^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)}\), а это \(\to\frac{R^{(n)}(x_0)}{n!}=0\) по определению производной. ∎

\[\begin{aligned}e^x&=1+x+\tfrac{x^2}{2!}+\dots+\tfrac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ \sin x&=x-\tfrac{x^3}{3!}+\tfrac{x^5}{5!}-\dots+o(x^{2n})\\ \cos x&=1-\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^4}{4!}-\dots+o(x^{2n+1})\\ \ln(1+x)&=x-\tfrac{x^2}2+\tfrac{x^3}3-\dots+(-1)^{n-1}\tfrac{x^n}n+o(x^n)\\ (1+x)^\mu&=1+\mu x+\tfrac{\mu(\mu-1)}{2!}x^2+\dots+o(x^n)\end{aligned}\]

(Образец РК №2) \(f=\frac1{\sqrt{4x-x^2}}\), \(x_0=2\).

\(t=x-2\): \(4x-x^2=4-t^2\). \(f=(4-t^2)^{-1/2}=\frac12\left(1-\frac{t^2}4\right)^{-1/2}\).
\((1+u)^{-1/2}=1-\frac u2+\frac38u^2+o(u^2)\), \(u=-\frac{t^2}4\).

\(f=\frac12+\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{3(x-2)^4}{256}+o((x-2)^4)\)

(1) \(e^{x^2+2x+2}\), \(x_0=-1\).

\(x^2+2x+2=t^2+1\): \(e\cdot e^{t^2}=e\left(1+t^2+\frac{t^4}2+\dots\right)\), \(t=x+1\)

(2) \(\cos\frac{\pi x}2\), \(x_0=1\).

\(\cos(\frac\pi2+\frac{\pi t}2)=-\sin\frac{\pi t}2=-\frac{\pi}2t+\frac{\pi^3}{48}t^3-\dots\), \(t=x-1\)

(3) \(\ln\frac{5-x}{7+x}\), \(x_0=0\).

\(\ln\frac57+\ln(1-\frac x5)-\ln(1+\frac x7)\).
\(=\ln\frac57-\left(\frac15+\frac17\right)x-\left(\frac1{50}-\frac1{98}\right)x^2+\dots\)

\(\ln\frac57-\frac{12}{35}x-\frac{12}{1225}x^2+o(x^2)\)

(4)–(7) \((x^2-4x+8)^{-1/2}\) при 2; \(\sin^2x\) при 0; \(\frac x{x+1}\) при 2; \(\ln(2-x)\) при −1.

\(\frac12-\frac{t^2}{16}+\frac{3t^4}{256}\); \(x^2-\frac{x^4}3+\dots\); \(\frac23+\frac t9-\frac{t^2}{27}+\frac{t^3}{81}\); \(\ln3-\frac t3-\frac{t^2}{18}-\frac{t^3}{81}\) (\(t=x-x_0\))

Приближённые вычисления: берём многочлен Тейлора и оцениваем \(|R_n|\) сверху.
Пределы: раскладываем числитель и знаменатель до первого ненулевого члена — работает там, где эквивалентности «съедают» друг друга.

Вычислить \(e\) с точностью \(0{,}001\).

\(R_n=\frac{e^\xi}{(n+1)!}<\frac3{(n+1)!}\). \(n=6\): \(\frac3{5040}\approx0{,}0006<0{,}001\).
\(1+1+\frac12+\frac16+\frac1{24}+\frac1{120}+\frac1{720}\approx2{,}7181\).

\(e\approx2{,}718\)

\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-e^{-x^2/2}}{x^4}\).

\(\cos x=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\); \(e^{-x^2/2}=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{8}+o(x^4)\).
Разность \(\left(\frac1{24}-\frac18\right)x^4=-\frac{x^4}{12}\).

\(-\frac1{12}\)

\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-\cos2x}{\operatorname{tg}x^2+\sin3x}\).

\(e^x-\cos2x=(1+x+\dots)-(1-2x^2+\dots)=x+o(x)\).
\(\operatorname{tg}x^2+\sin3x=3x+o(x)\) (\(x^2\) — высшего порядка).

\(\frac13\)

Маклорен для \(\frac1{1-x}\) до \(x^3\)?

\(1+x+x^2+x^3+o(x^3)\)

\(\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}\)?

\(\frac16\)

Лекция 14. ОЛ-2, гл. 7; ОЛ-3, гл. IV §§6, 7. МП-11 (Поляшова и др.) «Формула Тейлора и её приложения».

Занятие 18. Формула Тейлора.
Ауд.: ОЛ-4 №№ 5.383, 5.385, 5.389, 5.391, 5.392, 5.394, 5.395, 5.397(а,в), 5.400(а,б).
Дома: ОЛ-4 №№ 5.382, 5.386, 5.388, 5.390, 5.393, 5.396, 5.397(б,г), 5.398(б), 5.400(в).

Знак производной — направление движения графика

\(f'>0\) — растёт, \(f'<0\) — убывает. Экстремум бывает только в стационарных (\(f'=0\)) или критических (\(f'\) не существует) точках, и он есть, если производная меняет знак.

По графику производной восстанавливают поведение функции — это задача 3 РК №2. Срок сдачи ДЗ №3.

критические точки → знаки \(f'\) на интервалах → возрастание/убывание → смена знака «+ на −» — max, «− на +» — min

Для дифференцируемой на \((a;b)\) \(f\): неубывает \(\iff f'\ge0\) (необходимое и достаточное); если \(f'>0\) — строго возрастает (достаточное).

Доказательство достаточного условия (вопрос экзамена)

Для \(x_1<x_2\) по Лагранжу \(f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)>0\). ∎ Необходимость: если \(f\) неубывает, то \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\ge0\), и предел тоже \(\ge0\).

\(x_0\) — точка локального максимума, если \(f(x)\le f(x_0)\) в некоторой окрестности (аналогично — минимум).

В точке экстремума \(f'(x_0)=0\) или не существует (по Ферма). Такие точки — критические (\(f'=0\) — стационарные).

1) \(f'\) меняет знак при переходе через \(x_0\) (с «+» на «−» — max; с «−» на «+» — min). 2) \(f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0\) — max; \(f''(x_0)>0\) — min. 3) Если \(f'=\dots=f^{(n-1)}=0\), \(f^{(n)}\ne0\): при чётном \(n\) — экстремум (знак \(f^{(n)}\) как во 2)), при нечётном — нет.

Доказательство условия по 2-й производной (вопрос экзамена)

По Тейлору с остатком Пеано: \(f(x)-f(x_0)=\frac{f''(x_0)}2(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)\). Вблизи \(x_0\) знак разности совпадает со знаком \(f''(x_0)\): при \(f''<0\) \(f(x)<f(x_0)\) — максимум. ∎

\(y=x^3-3x\); \(y=x^{2/3}\); \(y=xe^{-x}\).

\(y'=3(x^2-1)\): «+ − +» ⇒ max в \(-1\) (\(y=2\)), min в \(1\) (\(y=-2\)).
\(y'=\frac2{3\sqrt[3]x}\) не существует в 0, знак «− +» ⇒ min (острие).
\(y'=(1-x)e^{-x}\) ⇒ max в 1, \(y=\frac1e\).

\(y=x^4-2x^2\) по второй производной; \(x^4\) и \(x^3\) в нуле.

\(y'=4x(x^2-1)\): 0, ±1. \(y''=12x^2-4\): \(y''(0)=-4\) — max; \(y''(\pm1)=8\) — min.
\(x^4\): первая ненулевая — 4-я (чётная, \(>0\)) — min. \(x^3\): 3-я (нечётная) — экстремума нет.

\(y=\dfrac{x^2}{x-1}\): асимптоты, интервалы монотонности, экстремумы.

Вертикальная \(x=1\). \(k=1\), \(b=\lim\frac{x}{x-1}=1\) ⇒ \(y=x+1\).
\(y'=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\): нули 0 и 2; знаки «+ − − +» (разрыв в 1).
max \((0;0)\), min \((2;4)\).

Найти критические точки внутри \([a;b]\).
Посчитать \(f\) в них и на концах.
Выбрать наибольшее и наименьшее из этих чисел.

Глобальный максимум не обязан быть локальным: он может быть на конце отрезка.

\(y=x^3-3x^2+1\) на \([-1;4]\).

\(y'=3x(x-2)\): 0 и 2.
\(y(-1)=-3,\ y(0)=1,\ y(2)=-3,\ y(4)=17\).

\(\max=17\) (при \(x=4\)), \(\min=-3\) (при \(x=-1\) и \(x=2\))

Дан кусочно-линейный график \(f'\) (бирюзовый). Восстановим \(f\) (оранжевый, \(f(0)=0\)).

Как читать график производной.

Знак \(f'\): \(f'<0\) на \((0;3)\) — \(f\) убывает; \(f'>0\) на \((3;5)\) — возрастает; \(f'=0\) при \(x>5\) — \(f\) постоянна.
Нули с переменой знака: в \(x=3\) знак «− → +» ⇒ минимум \(f\).
Значения \(f'\) — наклон \(f\): на \((1;2)\) \(f'=-1\) — отрезок прямой с наклоном −1.
Возрастание/убывание \(f'\) — выпуклость \(f\): \(f'\) убывает на \((0;1)\) и \((4;5)\) — \(f\) выпукла вверх; возрастает на \((2;4)\) — выпукла вниз. Максимум \(f'\) в \(x=4\) — точка перегиба \(f\).

Всегда ли в стационарной точке экстремум?

Нет: \(x^3\) в 0.

\(f'\) положительна и убывает. Как выглядит \(f\)?

Возрастает и выпукла вверх (замедляется).

Лекции 15–16. ОЛ-2, гл. 8; ОЛ-3, гл. V §§2–9, 11.

Занятие 19. Асимптоты, интервалы возрастания, убывания, экстремумы.
Ауд.: ОЛ-4 №№ 5.454, 5.455, 5.456, 5.406, 5.404, 5.410.
Дома: ОЛ-4 №№ 5.452, 5.453, 5.457, 5.458, 5.405, 5.408, 5.409.

Срок сдачи ДЗ №3 — 15-я неделя.

Вторая производная показывает, куда изгибается график

\(f''>0\) — график выпуклый вниз (лежит над касательными), \(f''<0\) — вверх. Точка перегиба — где выпуклость меняется.

Полное исследование соединяет всё, что было за семестр: область определения, чётность, разрывы и асимптоты (пределы), монотонность и экстремумы (\(f'\)), выпуклость (\(f''\)). Это ДЗ №3, задача 2 РК №2 и последняя задача экзамена.

\(D(f)\) → симметрия → асимптоты → \(f'\): монотонность, экстремумы → \(f''\): выпуклость, перегибы → таблица → график

График выпуклый вниз на \((a;b)\), если лежит не ниже любой своей касательной; вверх — не выше. Точка перегиба — точка графика, где направление выпуклости меняется (и есть касательная).

Если \(f''>0\) на \((a;b)\), график выпуклый вниз; \(f''<0\) — вверх.

Доказательство (вопрос экзамена)

Разность между графиком и касательной в точке \(x_0\): \(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)=\frac{f''(\xi)}2(x-x_0)^2\) (Тейлор с остатком Лагранжа). При \(f''>0\) она \(\ge0\) — график над касательной. ∎

Необходимое: в точке перегиба \(f''=0\) или не существует. Достаточное: \(f''\) меняет знак при переходе через точку (и функция непрерывна в ней).

(Экзамен, 10) \(y=2x+6-3\sqrt[3]{(x+3)^2}\): выпуклость, перегибы, график вблизи них.

\(y'=2-2(x+3)^{-1/3}\); \(y''=\frac23(x+3)^{-4/3}>0\) при \(x\ne-3\).
Выпукла вниз на \((-\infty;-3)\) и \((-3;+\infty)\); в \(x=-3\) \(y''\) не существует, но знак не меняется ⇒ перегиба нет.
Попутно: \(y'\to\pm\infty\) при \(x\to-3\mp0\) — острие (максимум \(y(-3)=0\)); \(y'=0\) при \(x=-2\) — минимум \(y=-1\).

выпукла вниз на обоих интервалах, точек перегиба нет

\(y=xe^{-x}\).

\(y''=(x-2)e^{-x}\): выпукла вверх при \(x<2\), вниз при \(x>2\); перегиб \((2;\frac2{e^2})\)

Область определения, точки разрыва.
Чётность/нечётность, периодичность (симметрия экономит половину работы).
Точки пересечения с осями (если находятся).
Вертикальные асимптоты (односторонние пределы в точках разрыва и на границах \(D\)).
Наклонные/горизонтальные асимптоты (\(k,b\) отдельно при \(\pm\infty\)).
\(f'\): критические точки, интервалы монотонности, экстремумы.
\(f''\): интервалы выпуклости, точки перегиба.
Сводная таблица знаков \(f',f''\).
Дополнительные точки.
График: асимптоты → особые точки → кривая по таблице.

\(y=\dfrac1{x^2+6x}\).

\(D\): \(x\ne0,\ x\ne-6\). \(y(-6-x)=y(x)\) — график симметричен относительно прямой \(x=-3\). Осей не пересекает (\(y\ne0\); \(x=0\notin D\)).
Вертикальные асимптоты \(x=0,\ x=-6\): \(y\to+\infty\) снаружи отрезка \([-6;0]\), \(-\infty\) внутри. Горизонтальная \(y=0\).
\(y'=-\frac{2(x+3)}{x^2(x+6)^2}\): \(+\) при \(x<-3\), \(-\) при \(x>-3\) ⇒ max \(\left(-3;-\frac19\right)\).
\(y''=\frac{6(x^2+6x+12)}{x^3(x+6)^3}\); числитель \(>0\) всегда ⇒ знак как у \(x(x+6)\): выпукла вниз при \(x<-6\) и \(x>0\), вверх на \((-6;0)\). Перегибов нет.

1) \(y=\frac x{\sqrt{1+x^2}}\).

Нечётная; асимптоты \(y=1\) (\(+\infty\)) и \(y=-1\) (\(-\infty\)); \(y'=(1+x^2)^{-3/2}>0\) — возрастает; \(y''=-3x(1+x^2)^{-5/2}\): перегиб в \(O\).

2) \(y=\sqrt[3]{x^2(x^2-3)^2}\).

Чётная, \(y\ge0\); нули \(0,\pm\sqrt3\) — острия (минимумы); \(y'=0\) при \(x=\pm1\): максимумы \(y=\sqrt[3]4\); асимптот нет (\(y\sim x^2\)).

3) \(y=\frac{e^x}x\).

\(x=0\) — вертикальная (\(-\infty\) слева, \(+\infty\) справа); \(y=0\) при \(x\to-\infty\); \(y'=\frac{e^x(x-1)}{x^2}\): min \((1;e)\); \(y''=\frac{e^x(x^2-2x+2)}{x^3}\): вниз при \(x>0\), вверх при \(x<0\).

\(y=\sqrt[3]{(x+1)^2}-\sqrt[3]{(x-1)^2}\).

\(D=\mathbb R\); \(y(-x)=-y(x)\) — нечётная.
При \(x\to\infty\): \(y=x^{2/3}\left[(1+\frac1x)^{2/3}-(1-\frac1x)^{2/3}\right]\sim x^{2/3}\cdot\frac{4}{3x}\to0\) — асимптота \(y=0\).
\(y'=\frac23\left[(x+1)^{-1/3}-(x-1)^{-1/3}\right]\): нулей нет, не существует в \(\pm1\). На \((-1;1)\) \(y'>0\), вне — \(y'<0\).
min \((-1;-\sqrt[3]4)\), max \((1;\sqrt[3]4)\) — острия.

Есть ли перегиб у \(y=x^4\) в нуле?

Нет: \(y''=12x^2\ge0\) не меняет знак.

Перегибы \(y=x^3-6x^2\)?

\(y''=6x-12\): \(x=2\), точка \((2;-16)\).

Лекции 15–16. ОЛ-2, гл. 8. МП-3, МП-7, МП-8 — исследование функций и графики.

Занятия 20–21. Исследование функций и построение графиков.
Ауд.: ОЛ-4 №№ 5.444, 5.446, 5.466, 5.496, 5.516; 5.493, 5.500, 5.525, 5.427, 5.429, 5.436.
Дома: ОЛ-4 №№ 5.442, 5.445, 5.472, 5.497, 5.517; 5.494, 5.502, 5.526, 5.428, 5.431, 5.437.

Контроль по модулю №2 (РК №2) — 16-я неделя.

Прикладная задача = функция одной переменной + max/min

Выбираем переменную, выражаем через неё оптимизируемую величину, находим область изменения и ищем экстремум.

Также по плану — действия с комплексными числами (подробно они разобраны в ангеме, неделя 16).

переменная → функция → область → \(f'=0\) → проверка, что это max/min → ответ в терминах задачи

Обозначь переменную \(x\) и найди её допустимый промежуток.
Запиши оптимизируемую величину как функцию \(f(x)\) (используя связи из условия).
Найди наибольшее/наименьшее значение на промежутке.
Проверь, что ответ имеет смысл (размеры положительны и т.д.).

Из квадратного листа со стороной \(a\) вырезают по углам квадраты и сгибают коробку. При какой стороне выреза объём наибольший?

\(V(x)=x(a-2x)^2,\ x\in(0;\frac a2)\).
\(V'=(a-2x)(a-6x)=0\Rightarrow x=\frac a6\) (знак «+ → −»).

\(x=\frac a6\), \(V_{\max}=\frac{2a^3}{27}\)

Из прямоугольников с периметром \(P\) найти прямоугольник наибольшей площади.

\(S=x(\frac P2-x)\), max при \(x=\frac P4\) — квадрат.

Цилиндрический бак объёма \(V\) с минимальной площадью поверхности.

\(h=\frac{V}{\pi r^2}\); \(S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{2V}r\).
\(S'=4\pi r-\frac{2V}{r^2}=0\Rightarrow r^3=\frac V{2\pi}\); тогда \(h=\frac{V}{\pi r^2}=2r\).

высота равна диаметру: \(h=2r\)

\(\frac{(1+i)^8}{(1-i)^6}\).

\((1+i)^2=2i\Rightarrow(1+i)^8=(2i)^4=16\).
\((1-i)^2=-2i\Rightarrow(1-i)^6=(-2i)^3=8i\).

\(\frac{16}{8i}=-2i\)

Все \(\sqrt[4]{-16}\).

\(2e^{i(\pi+2\pi k)/4}\): \(\pm\sqrt2\pm i\sqrt2\)

Видишь	Делай
\(\frac00\) с элементарными функциями	эквивалентности → если не хватает, Тейлор или Лопиталь
\(1^\infty\)	\(e^{\lim v(u-1)}\)
\(\infty-\infty\) с корнями	сопряжённое
«исследовать разрывы»	подозрительные точки → \(f(a\pm0)\) → тип → эскиз
«порядок малости»	главная часть \(C(x-a)^k\) каждой функции → сравнить показатели
\(y'\) сложной/\(u^v\)/параметрической/неявной	цепочка / логарифм / \(y'_t/x'_t\) / дифференцируем уравнение
«разложить по Тейлору»	\(t=x-x_0\) → свести к \(e^u,\sin u,\cos u,\ln(1+u),(1+u)^\mu\)
«исследовать и построить»	10 шагов недели 16

Число 20 разбить на два слагаемых с наибольшим произведением.

10 + 10

Лекция 17 — резерв.

Занятие 22. Практические задачи на наибольшие и наименьшие значения. Ауд.: ДЛ-4 №№ 866, 868, 875, 884, 885, 889. Дома: №№ 873, 876, 877, 882, 883, 886, 888; МП-5.

Занятие 24. Действия с комплексными числами. Ауд.: ОЛ-4 №№ 1.421, 1.423, 1.428, 1.429, 1.436, 1.438, 1.440, 1.486, 1.488, 1.497, 1.499. Дома: 1.424–1.427, 1.435, 1.437, 1.439, 1.485, 1.487, 1.500, 1.501.

2 теоретических вопроса + 6 задач

Теория: каждый вопрос 0/1/2; сумма 2 → 4, 3 → 5, 4 → 6 рейтинговых (0–1 → 0). Задачи: по 0/1/2, сумма 6 → 8, 7 → 9, … 12 → 14 (до 5 — ноль).

Минимум за РК — 12 из 20. Части сдаются отдельно. Типовой набор задач: три–четыре предела (алгебраический, на бесконечности, \(1^\infty\), эквивалентности), точки разрыва с эскизом, порядок малости.

порог по задачам — 6 сырых баллов из 12: это три задачи, решённые полностью. Пределы — самые «дешёвые» баллы, начинай с них.

Определение ограниченной последовательности.
\(\exists M>0:\ \forall n\ |a_n|\le M\).
Теорема о единственности предела последовательности.
Сходящаяся последовательность имеет ровно один предел. Доказательство: при \(a\ne b\) взять \(\varepsilon=\frac{|a-b|}2\) — получим \(|a-b|<|a-b|\) (неделя 2).
Доказать ограниченность сходящейся последовательности.
\(\varepsilon=1\): при \(n>N\) \(|a_n|<|a|+1\); \(M=\max(|a_1|,\dots,|a_N|,|a|+1)\) (неделя 2).
Признак Вейерштрасса.
Монотонная ограниченная последовательность сходится (неубывающая и ограниченная сверху — к своему \(\sup\)).
Определения по Коши конечного и бесконечного предела в точке и на бесконечности.
См. таблицу недели 3: «\(\forall\varepsilon\ \exists\delta\)», «\(\forall E\ \exists\delta\)», «\(\forall\varepsilon\ \exists M\)», «\(\forall E\ \exists M\)».
Односторонние пределы.
\(\lim_{x\to a-0}f=A\): \(\forall\varepsilon\ \exists\delta:\ a-\delta<x<a\Rightarrow|f-A|<\varepsilon\); справа — \(a<x<a+\delta\).
Доказать теорему о связи двустороннего и односторонних пределов.
⇒ очевидно; ⇐ взять \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2)\) (неделя 4).
Локально ограниченная функция.
Ограничена в некоторой окрестности точки: \(\exists U(a),M:\ |f(x)|\le M\) при \(x\in\mathring U(a)\).
Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.
При \(\varepsilon=1\): \(|f|<|A|+1\) в \(\mathring U(a)\).
Теорема о знакопостоянстве.
\(\lim f=A>0\Rightarrow f>0\) в некоторой \(\mathring U(a)\) (\(\varepsilon=\frac A2\)).
Предельный переход в неравенстве.
\(f\le g\) в \(\mathring U(a)\) ⇒ \(\lim f\le\lim g\) (от противного через знакопостоянство \(f-g\)).
Теорема о пределе промежуточной функции.
\(f\le h\le g\), \(\lim f=\lim g=A\) ⇒ \(\lim h=A\).
Бесконечно малая функция.
\(\lim_{x\to a}\alpha(x)=0\).
Доказать связь функции, её предела и б.м.
\(\lim f=A\iff f=A+\alpha\), \(\alpha\to0\): положить \(\alpha=f-A\).
Теорема о пределе суммы.
\(\lim(f+g)=A+B\): \(f+g=(A+B)+(\alpha+\beta)\), сумма б.м. — б.м.
Теорема о пределе произведения.
\(fg=AB+(A\beta+B\alpha+\alpha\beta)\) — скобка б.м.
Теорема о пределе частного.
\(\frac fg-\frac AB=\frac{B\alpha-A\beta}{Bg}\); числитель б.м., \(\frac1{Bg}\) локально ограничена (так как \(g\to B\ne0\)).

Теорема о пределе сложной функции.
\(g\to b\) (\(g\ne b\)), \(f(y)\to A\) при \(y\to b\) ⇒ \(f(g(x))\to A\) (неделя 5).
Бесконечно большая функция.
\(\lim f=\infty\): \(\forall E\ \exists\delta:\ |f|>E\).
Доказать связь б.м. и б.б.
\(\alpha\to0,\ \alpha\ne0\Rightarrow\frac1\alpha\to\infty\): для \(E\) взять \(\varepsilon=\frac1E\).
Вывести первый замечательный предел.
\(\cos x<\frac{\sin x}x<1\) из сравнения площадей; теорема о промежуточной функции (неделя 5).
Сравнение б.м.
По \(\lim\frac\alpha\beta\): 0 — \(\alpha=o(\beta)\); \(c\ne0\) — один порядок; 1 — эквивалентны; \(\infty\) — \(\alpha\) низшего порядка. Порядок \(k\): \(\frac\alpha{\beta^k}\to c\ne0\).
Доказать замену на эквивалентные в частном.
\(\frac\alpha\beta=\frac\alpha{\alpha_1}\cdot\frac{\alpha_1}{\beta_1}\cdot\frac{\beta_1}\beta\).
Доказать: сумма б.м. разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
\(\alpha+\beta\) при \(\beta=o(\alpha)\): \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha}=1+\frac\beta\alpha\to1\).
Доказать: сумма конечного числа б.м. — б.м.
\(\varepsilon/n\) для каждой из \(n\) функций, \(\delta=\min\delta_i\).
Доказать: б.м. × ограниченная = б.м.
\(|f|\le M\), \(|\alpha|<\varepsilon/M\) ⇒ \(|\alpha f|<\varepsilon\).
Сравнение б.б.; сумма б.б. разных порядков роста.
По \(\lim\frac fg\): \(\infty\) — \(f\) высшего порядка роста. Сумма эквивалентна слагаемому высшего порядка: \(\frac{f+g}{f}=1+\frac gf\to1\) при \(g=o(f)\).
Непрерывность в точке.
\(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) (или \(\Delta y\to0\) при \(\Delta x\to0\)).
Доказать непрерывность \(\sin x\).
\(|\sin x-\sin a|\le2\left|\sin\frac{x-a}2\right|\le|x-a|\), \(\delta=\varepsilon\).
Точки разрыва, классификация.
Устранимый (\(f(a\pm0)\) конечны и равны), скачок (конечны, разные), 2-го рода (хотя бы один бесконечен или не существует).
Непрерывность на отрезке.
Непрерывна во внутренних точках, справа в \(a\), слева в \(b\).
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Ограниченность и достижение max/min (Вейерштрасс); промежуточные значения и нуль при разных знаках на концах (Больцано–Коши).
Непрерывность сложной функции.
\(g\) непрерывна в \(a\), \(f\) — в \(g(a)\) ⇒ \(f\circ g\) непрерывна в \(a\).

\(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^3-3x+2}{x^3-x^2-x+1}\).

\(x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\); \(x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)\).

\(\frac32\)

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x+5x^3+x\sqrt x}{x^3+\sqrt{x^6-x\sqrt[3]x}}\).

Числитель \(\sim5x^3\); знаменатель \(\sim x^3+x^3=2x^3\).

\(\frac52\)

\(\lim\limits_{x\to0}(1+\sin x\cos2x)^{\operatorname{ctg}^3x}\).

\(1^\infty\): \(v(u-1)=\operatorname{ctg}^3x\cdot\sin x\cos2x\sim\frac1{x^3}\cdot x=\frac1{x^2}\to+\infty\) (с обеих сторон).

\(e^{+\infty}=+\infty\)

\(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\operatorname{arctg}(2x-2)}{\sin\pi x}\).

\(t=x-1\): \(\operatorname{arctg}2t\sim2t\); \(\sin(\pi+\pi t)=-\sin\pi t\sim-\pi t\).

\(-\frac2\pi\)

Разрывы \(f=\frac{x-1}{x^2-5x+4}\).

\(x=1\) — устранимый (\(-\frac13\)), \(x=4\) — 2-го рода (неделя 7)

Порядок малости \(\sin\sqrt[3]{x+x^2}\) относительно \(2^{\sqrt x}-3^x\), \(x\to+0\).

\(\frac23\) (неделя 6)

№	Ответ	Где разобрано
1	\(-\infty\)	неделя 4
2	\(\frac12\)	неделя 4
3	\(0\)	неделя 4
4	\(-\frac12\)	неделя 5
5	\(3\)	неделя 5
6	\(-\frac32\)	неделя 5
7	\(e^{-1/8}\)	неделя 6
8	\(e^{27}\)	неделя 6
9	\(e^{-8}\)	неделя 6
10	\(\frac43\)	неделя 5
11	\(\frac1{14}\)	неделя 8
12	\(1\)	неделя 6
13	\(-8\)	неделя 8
14	\(-6\)	неделя 8
15	\(x=2\) скачок, \(x=3\) 2-го рода	неделя 7
16	\(x=-1,\ x=3\) — 2-го рода	неделя 7
17	\(x=2\) — скачок (1 → 0)	неделя 7
18	\(x=0\) — устранимый (2)	неделя 7
19	порядок \(\frac14\)	неделя 6
20	порядок роста \(\frac43\)	неделя 6

Определение предела последовательности; доказать ограниченность сходящейся последовательности.

Вопросы 1, 3.

Определение по Коши \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\); пример.

\(\forall E>0\ \exists M:\ x>M\Rightarrow f(x)<-E\); например \(f=-x\), \(M=E\).

\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}\).

\(\frac{x+2}{x-1}\to4\)

\(\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{2x+1}{2x-3}\right)^x\).

\(e^{\lim\frac{4x}{2x-3}}=e^2\)

\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x\arcsin3x}\).

\(\frac{2x^2}{3x^2}=\frac23\)

\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln\cos x}{x^2}\).

\(\ln(1+(\cos x-1))\sim\cos x-1\sim-\frac{x^2}2\): \(-\frac12\)

Разрывы \(f=\frac{x^2-1}{x^2-x}\).

\(=\frac{x+1}{x}\) при \(x\ne1\): \(x=1\) — устранимый (2), \(x=0\) — 2-го рода.

Порядок малости \(\sqrt{1+x^2}-1\) относительно \(\sin x\), \(x\to0\).

\(\sim\frac{x^2}2\): порядок 2

Источник: «Математический анализ СМ, РК4, ИУ10. Рейтинг и журнал» — вопросы и задачи для подготовки к контролю по модулю 1, образец контроля. Все пределы проверены символьным вычислением.

9 задач: 6 «простых» и 3 «дорогих»

Задачи 1–6 — по 0/1/2, задачи 7–9 (параметрическая \(y''\), неявная \(y',y''\), касательная и нормаль с чертежом) — по 0/2/4. Всего 24; перевод: 14–16 → 6, 17–18 → 7, 19–20 → 8, 21–22 → 9, 23–24 → 10. Меньше 14 — ноль.

Задачи 7–9 дают половину баллов — их нужно уметь решать безошибочно. В 1–6 потери обычно из-за пропущенного множителя от внутренней функции.

сложная функция: «снаружи внутрь», не забыть производную каждого слоя · \(u^v\) — через логарифм · \(y''_{xx}=\frac{(y'_x)'_t}{x'_t}\) · неявная: подставить точку сразу

\(y=3^x\operatorname{tg}(3x+8)\).

\(3^x\ln3\operatorname{tg}(3x+8)+\dfrac{3^{x+1}}{\cos^2(3x+8)}\)

\(y=\sqrt[5]{\sin^2(\log_3x)}\).

\(y=\sin^{2/5}u,\ u=\log_3x\).

\(\dfrac{2\cos(\log_3x)}{5x\ln3\,\sin^{3/5}(\log_3x)}\)

\(y=\operatorname{arctg}(x^3-2)-\frac x{\cos5x}\).

\(\dfrac{3x^2}{1+(x^3-2)^2}-\dfrac{\cos5x+5x\sin5x}{\cos^25x}\)

\(y=\dfrac{\arcsin\sqrt x}{xe^x}\).

\((\arcsin\sqrt x)'=\frac1{\sqrt{1-x}}\cdot\frac1{2\sqrt x}\); \((xe^x)'=(1+x)e^x\).

\(\dfrac{\frac{x}{2\sqrt{x(1-x)}}-(1+x)\arcsin\sqrt x}{x^2e^x}\)

\(y=(1+\operatorname{ctg}4x)^{\ln x}\).

разобрано в неделе 11

\(y=\arccos^3\dfrac{x}{x^2+1}\).

\(u=\frac x{x^2+1}\), \(u'=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\).

\(-\dfrac{3\arccos^2u}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)

\(x=\log_2(1+t^3),\ y=t^4\): \(y''_{xx}\).

\(\frac{4\ln^22}{9}\cdot\frac{(1+4t^3)(1+t^3)}{t^2}\) (неделя 11)

\(x^2+y^2+6xy-4x+2y=0\): \(y',y''\) в \(M(0;0)\).

\(y'=2,\ y''=-17\) (неделя 11)

Касательная и нормаль к \(x=4\cos t,\ y=8\sin t\) в \(M_0(2\sqrt3;4)\).

\(y=-2\sqrt3x+16\); \(y=\frac x{2\sqrt3}+3\) (неделя 11, с чертежом)

\(y=\cos^4(\sqrt[3]{2-x^2})\).

\(\frac{8x\cos^3u\sin u}{3\sqrt[3]{(2-x^2)^2}}\), \(u=\sqrt[3]{2-x^2}\)

\(y=x^5\sin^3\frac1{x^2}\).

\(5x^4\sin^3\frac1{x^2}-6x^2\sin^2\frac1{x^2}\cos\frac1{x^2}\)

\(y=\operatorname{tg}\ln\left(1+\frac1{2x}\right)^{1/4}\) (т.е. \(\operatorname{tg}\left(\frac14\ln(1+\frac1{2x})\right)\)).

\(-\dfrac{1}{4x(2x+1)\cos^2\left(\frac14\ln(1+\frac1{2x})\right)}\)

\(y=\dfrac{\sqrt[7]{3x^2-x}}{\cos^24x}\).

\(\dfrac{6x-1}{7\sqrt[7]{(3x^2-x)^6}\cos^24x}+\dfrac{8\sqrt[7]{3x^2-x}\,\sin4x}{\cos^34x}\)

\(y=\left(\arcsin\frac1{3x}\right)^{4x^2}\).

\(y\left(8x\ln\arcsin\frac1{3x}-\dfrac{4}{3\arcsin\frac1{3x}\sqrt{1-\frac1{9x^2}}}\right)\)

\(y=\dfrac{\operatorname{ctg}5x}{1+\cos^23x}\).

\(\dfrac{-\frac{5(1+\cos^23x)}{\sin^25x}+3\operatorname{ctg}5x\sin6x}{(1+\cos^23x)^2}\)

\(y=(\sqrt{\operatorname{tg}3x})^{\sin^2x}\).

\(y\left(\frac12\sin2x\ln\operatorname{tg}3x+\frac{3\sin^2x}{\sin6x}\right)\) (неделя 11)

\(y=\log_3\sqrt{e^{3x}-5e^{-2x}}\).

\(\dfrac{3e^{3x}+10e^{-2x}}{2\ln3\,(e^{3x}-5e^{-2x})}\)

Параметрическая, неявная функции и касательные.

9: \(\frac1{6\sin3t}\); 10: \(y'=14,\ y''=-300\); 11: \(y=\ln6+\frac{x-3}3\); 12: две касательные при \(x=\pm\frac16\); 13: \(y=\frac x2-3\), нормаль \(y=-2x+17\); 14: \(y-\frac{3\sqrt3}2=-\frac{\sqrt3}4(x-2)\). Подробно — недели 11–12.

Все ответы проверены численно (сравнением с символьной производной).

\(y=e^{\operatorname{tg}2x}\sqrt{x}\).

\(e^{\operatorname{tg}2x}\left(\frac{2\sqrt x}{\cos^22x}+\frac1{2\sqrt x}\right)\)

\(y=(\sin x)^{x}\).

\((\sin x)^x(\ln\sin x+x\operatorname{ctg}x)\)

\(x=t^2,\ y=t^3\): \(y''_{xx}\).

\(y'_x=\frac32t\), \(y''_{xx}=\frac{3/2}{2t}=\frac3{4t}\)

\(xy+e^y=1\): \(y'(0)\), если \(y(0)=0\).

\(y+xy'+e^yy'=0\Rightarrow y'(0)=0\)

Источник: «Рейтинг и журнал» — образец КР и задачи для подготовки к контрольной работе «Техника дифференцирования».

1 теоретический вопрос + 3 задачи

Теория 0/2/4 (переводится 2 → 2, 4 → 4). Задачи: исследование функции 0–4, график по производной 0–1, формула Тейлора 0–2. Сумма задач: 4 → 9, 5 → 11, 6 → 13, 7 → 15.

Минимум — 11 из 19. Исследование функции — 4 балла из 7 по задачам: без него РК не сдать.

10 шагов исследования (неделя 16) + чтение графика \(f'\) (неделя 15) + Тейлор через подстановку (неделя 14)

Определение производной в точке.
\(f'(a)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\).
Геометрический смысл; вывести уравнения касательной и нормали.
\(f'(a)=\operatorname{tg}\alpha\) — наклон касательной (предельное положение секущей). Прямая через \((a;f(a))\) с наклоном \(f'(a)\): \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\); нормаль перпендикулярна: наклон \(-\frac1{f'(a)}\).
Дифференцируемость в точке.
\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\).
Доказать связь дифференцируемости и конечной производной.
Неделя 10: деление на \(\Delta x\) и теорема о связи функции, предела и б.м.
Связь дифференцируемости и непрерывности.
Дифференцируема ⇒ непрерывна (\(\Delta y=(A+\alpha)\Delta x\to0\)); обратное неверно (\(|x|\)).
Вывести производную произведения.
\(\Delta(uv)=\Delta u\,v+u\,\Delta v+\Delta u\,\Delta v\) (неделя 10).
Вывести производную частного.
\(\Delta\frac uv=\frac{\Delta u\,v-u\,\Delta v}{v(v+\Delta v)}\) (неделя 10).
Дифференцируемость сложной функции.
\(g\) дифф. в \(x\), \(f\) — в \(g(x)\) ⇒ \((f\circ g)'=f'(g(x))g'(x)\).
Дифференцируемость обратной функции.
\(f\) строго монотонна, непрерывна, \(f'(x)\ne0\) ⇒ \((f^{-1})'(y)=\frac1{f'(x)}\).
Дифференциал: определение, геометрический смысл.
\(dy=f'(x)dx\) — линейная часть приращения; приращение ординаты касательной.
Доказать инвариантность формы первого дифференциала.
\(dy=f'(u)g'(x)dx=f'(u)du\) (неделя 12).
Теорема Ферма.
Дифференцируемая функция в точке локального экстремума имеет \(f'=0\).
Теорема Ролля и её геометрический смысл.
\(f(a)=f(b)\) + непрерывность + дифференцируемость ⇒ \(\exists c:\ f'(c)=0\) — горизонтальная касательная.
Теорема Лагранжа и её геометрический смысл.
\(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\) — касательная параллельна хорде.
Теорема Коши.
\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\) при \(g'\ne0\).

Теорема Бернулли–Лопиталя для \(\frac00\).
\(f,g\to0\), \(\exists\lim\frac{f'}{g'}\) ⇒ \(\lim\frac fg=\lim\frac{f'}{g'}\).
Формулы Тейлора с остатками Пеано и Лагранжа; условия применимости.
Пеано: \(n\) раз дифференцируема в точке; Лагранж: \((n+1)\) раз в окрестности (неделя 14).
Необходимое и достаточное условия возрастания.
Необходимое: возрастает ⇒ \(f'\ge0\). Достаточное: \(f'>0\) на интервале ⇒ возрастает (Лагранж).
Необходимое и достаточное условия убывания.
Симметрично: \(f'\le0\) / \(f'<0\).
Точки локального экстремума.
\(f(x)\le f(x_0)\) (max) или \(\ge\) (min) в некоторой окрестности.
Необходимое условие экстремума.
\(f'(x_0)=0\) или не существует.
Достаточное условие по первой производной.
Смена знака \(f'\): «+ → −» — max, «− → +» — min.
Достаточное условие по второй производной.
\(f'=0,\ f''<0\) — max; \(f''>0\) — min.
Выпуклость вверх и вниз.
Вниз — график не ниже касательных; вверх — не выше.
Достаточное условие выпуклости.
\(f''>0\) — вниз, \(f''<0\) — вверх.
Точка перегиба.
Точка графика, в которой меняется направление выпуклости.
Необходимое и достаточное условия перегиба.
Необходимое: \(f''=0\) или не существует. Достаточное: смена знака \(f''\).
Наклонная асимптота: определение и вывод уравнения.
\(f-(kx+b)\to0\) ⇒ \(k=\lim\frac fx,\ b=\lim(f-kx)\) (неделя 8).

В официальном списке вопросы 26–30 частично повторяют 24–29; здесь они объединены.

Определение дифференцируемости и теорема о связи с конечной производной.

Вопросы 3–4.

Исследовать \(y=\frac1{x^2+6x}\) и построить график.

Полный разбор с графиком — неделя 16.

По графику производной построить график функции.

Алгоритм и пример — неделя 15, «функция по графику производной».

Тейлор (Пеано) для \(\frac1{\sqrt{4x-x^2}}\), \(x_0=2\).

\(\frac12+\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{3(x-2)^4}{256}+o((x-2)^4)\) (неделя 14)

Разложения по Тейлору из списка кафедры.

1) \(e(1+t^2+\frac{t^4}2+\dots)\), \(t=x+1\); 2) \(-\frac\pi2t+\frac{\pi^3}{48}t^3-\dots\), \(t=x-1\); 3) \(\ln\frac57-\frac{12}{35}x-\frac{12}{1225}x^2+\dots\); 4) \(\frac12-\frac{t^2}{16}+\frac{3t^4}{256}\), \(t=x-2\); 5) \(x^2-\frac{x^4}3+\dots\); 6) \(\frac23+\frac t9-\frac{t^2}{27}+\frac{t^3}{81}\), \(t=x-2\); 7) \(\ln3-\frac t3-\frac{t^2}{18}-\frac{t^3}{81}\), \(t=x+1\). Подробно — неделя 14.

\(y=\sqrt[3]{(x+1)^2}-\sqrt[3]{(x-1)^2}\).

Нечётная, \(y=0\) — асимптота, острия: min \((-1;-\sqrt[3]4)\), max \((1;\sqrt[3]4)\) (неделя 16).

Первый график производной из списка: \(f'\) от нуля уходит вниз и идёт горизонтально (отрицательна), затем поднимается, пересекает ось (точка \(x_1\)), достигает пика и возвращается к нулю (точка \(x_2\)); дальше \(f'=0\) на отрезке \([x_2;x_3]\); потом «провал» вниз с пересечением оси в \(x_4\), рост и горизонтальный участок над осью.

Монотонность: до \(x_1\) \(f'<0\) — \(f\) убывает; на \((x_1;x_2)\) растёт; на \([x_2;x_3]\) постоянна; на \((x_3;x_4)\) убывает; после \(x_4\) растёт.
Экстремумы: \(x_1\) и \(x_4\) — минимумы (смена «− → +»). Отрезок \([x_2;x_3]\) — «плоская вершина»: слева \(f\) росла, справа убывает, все его точки — нестрогие максимумы.
Форма: где \(f'\) постоянна и ≠ 0 — \(f\) идёт отрезком прямой; где \(f'\) возрастает — \(f\) выпукла вниз; где убывает — вверх. Изломы графика \(f'\) (вершины) дают точки перегиба \(f\), если \(f'\) меняет там характер роста.

Сформулировать и доказать теорему Лагранжа.

Неделя 13 (вспомогательная функция + Ролль).

Исследовать \(y=\frac{x^3}{x^2-1}\).

Нечётная; вертикальные \(x=\pm1\); наклонная \(y=x\); \(y'=\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}\): max \(\left(-\sqrt3;-\frac{3\sqrt3}2\right)\), min \(\left(\sqrt3;\frac{3\sqrt3}2\right)\); \(y''=\frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\): перегиб \((0;0)\).

\(f'\) отрицательна на \((-\infty;1)\), положительна на \((1;4)\), отрицательна на \((4;+\infty)\). Экстремумы \(f\)?

min в \(x=1\), max в \(x=4\).

Тейлор (Пеано, до \((x-1)^2\)) для \(\sqrt{x+3}\), \(x_0=1\).

\(2+\frac{x-1}4-\frac{(x-1)^2}{64}+o((x-1)^2)\)

Источник: «Рейтинг и журнал» — вопросы и задачи для подготовки к контролю по модулю 2, образец контроля №2.